处理数字是 Common Lisp 的强项之一。Common Lisp 有着丰富的数值类型，而 Common Lisp 操作数字的特性与其他语言比起来更受人喜爱。

9.1 类型 (Types)

Common Lisp 提供了四种不同类型的数字：整数、浮点数、比值与复数。本章所讲述的函数适用于所有类型的数字。有几个不能用在复数的函数会特别说明。

整数写成一串数字：如 2001 。浮点数是可以写成一串包含小数点的数字，如 253.72 ，或是用科学表示法，如 2.5372e2 。比值是写成由整数组成的分数：如 2/3 。而复数 a+bi 写成 #c(a b) ，其中 a 与 b 是任两个类型相同的实数。

谓词 integerp 、 floatp 以及 complexp 针对相应的数字类型返回真。图 9.1 展示了数值类型的层级。

朗伯定律 告诉我们，由平面上一点所反射的光的强度，正比于该点的单位法向量 (unit normal vector) N (这里是与平面垂直且长度为一的向量)与该点至光源的单位向量 L 的点积 (dot-product):

i=N⋅L

如果光刚好照到这点， N 与 L 会重合 (coincident)，则点积会是最大值， 1 。如果将在这时候将平面朝光转 90 度，则 N 与 L 会垂直，则两者点积会是 0 。如果光在平面后面，则点积会是负数。

在我们的程序里，我们假设光源在观测点 (eye)，所以 lambert 使用了这个规则来找到平面上某点的亮度 (illumination)，返回我们追踪的光的单位向量与法向量的点积。

在 sendray 这个值会乘上平面的颜色 (即便是有好的照明，一个暗的平面还是暗的)来决定该点之后总体亮度。

为了简单起见，我们在模拟世界里会只有一种物体，球体。图 9.5 包含了与球体有关的代码。球体结构包含了 surface ，所以一个球体会有一种颜色以及 center 和 radius 。调用 defsphere 添加一个新球体至世界里。

(defstruct (sphere (:include surface))
  radius center)

(defun defsphere (x y z r c)
  (let ((s (make-sphere
             :radius r
             :center (make-point :x x :y y :z z)
             :color  c)))
    (push s *world*)
    s))

(defun intersect (s pt xr yr zr)
  (funcall (typecase s (sphere #'sphere-intersect))
           s pt xr yr zr))

(defun sphere-intersect (s pt xr yr zr)
  (let* ((c (sphere-center s))
         (n (minroot (+ (sq xr) (sq yr) (sq zr))
                     (* 2 (+ (* (- (x pt) (x c)) xr)
                             (* (- (y pt) (y c)) yr)
                             (* (- (z pt) (z c)) zr)))
                     (+ (sq (- (x pt) (x c)))
                        (sq (- (y pt) (y c)))
                        (sq (- (z pt) (z c)))
                        (- (sq (sphere-radius s)))))))
    (if n
        (make-point :x  (+ (x pt) (* n xr))
                    :y  (+ (y pt) (* n yr))
                    :z  (+ (z pt) (* n zr))))))

(defun normal (s pt)
  (funcall (typecase s (sphere #'sphere-normal))
           s pt))

(defun sphere-normal (s pt)
  (let ((c (sphere-center s)))
    (unit-vector (- (x c) (x pt))
                 (- (y c) (y pt))
                 (- (z c) (z pt)))))

图 9.5 球体。

函数 intersect 判断与何种平面有关，并调用对应的函数。在此时只有一种， sphere-intersect ，但 intersect 是写成可以容易扩展处理别种物体。

我们要怎么找到一束光与一个球体的交点 (intersection)呢？光线是表示成点 p=⟨x0,y0,x0⟩ 以及单位向量 v=⟨xr,yr,xr⟩ 。每个在光上的点可以表示为 p+nv ，对于某个 n ── 即 ⟨x0+nxr,y0+nyr,z0+nzr⟩ 。光击中球体的点的距离至中心 ⟨xc,yc,zc⟩ 会等于球体的半径 r 。所以在下列这个交点的方程序会成立:

r=(x0+nxr−xc)2+(y0+nyr−yc)2+(z0+nzr−zc)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

这会给出

an2+bn+c=0

其中

a=x2r+y2r+z2rb=2((x0−xc)xr+(y0−yc)yr+(z0−zc)zr)c=(x0−xc)2+(y0−yc)2+(z0−zc)2−r2

要找到交点我们只需要找到这个二次方程序的根。它可能是零、一个或两个实数根。没有根代表光没有击中球体；一个根代表光与球体交于一点 (擦过 「grazing hit」)；两个根代表光与球体交于两点 (一点交于进入时、一点交于离开时)。在最后一个情况里，我们想要两个根之中较小的那个； n 与光离开观测点的距离成正比，所以先击中的会是较小的 n 。所以我们调用 minroot 。如果有一个根， sphere-intersect 返回代表该点的 ⟨x0+nxr,y0+nyr,z0+nzr⟩ 。

图 9.5 的另外两个函数， normal 与 sphere-normal 类比于 intersect 与 sphere-intersect 。要找到垂直于球体很简单 ── 不过是从该点至球体中心的向量而已。

图 9.6 示范了我们如何产生图片； ray-test 定义了 38 个球体（不全都看的见）然后产生一张图片，叫做 “sphere.pgm” 。

(译注：PGM 可移植灰度图格式，更多信息参见 wiki )

(defun ray-test (&optional (res 1))
  (setf *world* nil)
  (defsphere 0 -300 -1200 200 .8)
  (defsphere -80 -150 -1200 200 .7)
  (defsphere 70 -100 -1200 200 .9)
  (do ((x -2 (1+ x)))
      ((> x 2))
    (do ((z 2 (1+ z)))
        ((> z 7))
      (defsphere (* x 200) 300 (* z -400) 40 .75)))
  (tracer (make-pathname :name "spheres.pgm") res))

图 9.6 使用光线追踪器

图 9.7 是产生出来的图片，其中 res 参数为 10。