第十三章：数据结构
第十三章：数据结构
关联列表
我们常常会跟一些以键为索引的无序数据打交道。
举个例子，UNIX 管理猿可能需要这么一个列表，它包含系统中所有用户的 UID ，以及和这个 UID 相对应的用户名。这个列表根据 UID 而不是数据的位置来查找相应的用户名。换句话来说， UID 就是这个数据集的键。
Haskell 里有几种不同的方法来处理这种结构的数据，最常用的两个是关联列表（association list）和 Data.Map 模块提供的 Map 类型。
关联列表非常简单，易于使用。由于关联列表由 Haskell 列表构成，因此所有列表操作函数都可以用于处理关联列表。
另一方面， Map 类型在处理大数据集时，性能比关联列表要好。
本章将同时介绍这两种数据结构。
关联列表就是包含一个或多个 (key,value) 元组的列表， key 和 value 可以是任意类型。一个处理 UID 和用户名映射的关联列表的类型可能是 [(Integer,String)] 。
[注：关联列表的 key 必须是 Eq 类型的成员。]
关联列表的构建方式和普通列表一样。Haskell 提供了一个 Data.List.lookup 函数，用于在关联列表中查找数据。这个函数的类型签名为 Eqa=>a->[(a,b)]->Maybeb 。它的使用方式如下：
Prelude> let al = [(1, "one"), (2, "two"), (3, "three"), (4, "four")]
Prelude> lookup 1 al
Just "one"
Prelude> lookup 5 al
Nothing
lookup 函数的定义如下：
-- file: ch13/lookup.hs
myLookup :: Eq a => a -> [(a, b)] -> Maybe b
myLookup _ [] = Nothing
myLookup key ((thiskey, thisval):rest) =
if key == thiskey
then Just thisval
else myLookup key rest
lookup 在输入列表为空时返回 Nothing 。如果输入列表不为空，那么它检查当前列表元素的 key 是否就是我们要找的 key ，如果是的话就返回和这个 key 对应的 value ，否则就继续递归处理剩余的列表元素。
再来看一个稍微复杂点的例子。在 Unix/Linux 系统中，有一个 /etc/passwd 文件，这个文件保存了用户名称， UID，用户的 HOME 目录位置，以及其他一些数据。文件以行分割每个用户的资料，每个数据域用冒号隔开：
root:x:0:0:root:/root:/bin/bash
daemon:x:1:1:daemon:/usr/sbin:/bin/sh
bin:x:2:2:bin:/bin:/bin/sh
sys:x:3:3:sys:/dev:/bin/sh
sync:x:4:65534:sync:/bin:/bin/sync
games:x:5:60:games:/usr/games:/bin/sh
man:x:6:12:man:/var/cache/man:/bin/sh
lp:x:7:7:lp:/var/spool/lpd:/bin/sh
mail:x:8:8:mail:/var/mail:/bin/sh
news:x:9:9:news:/var/spool/news:/bin/sh
jgoerzen:x:1000:1000:John Goerzen,,,:/home/jgoerzen:/bin/bash
以下程序读入并处理 /etc/passwd 文件，它创建一个关联列表，使得我们可以根据给定 UID ，获取相应的用户名：
-- file: ch13/passwd-al.hs
import Data.List
import System.IO
import Control.Monad(when)
import System.Exit
import System.Environment(getArgs)
main = do
-- Load the command-line arguments
args <- getArgs
-- If we don't have the right amount of args, give an error and abort
when (length args /= 2) $ do
putStrLn "Syntax: passwd-al filename uid"
exitFailure
-- Read the file lazily
content <- readFile (args !! 0)
-- Compute the username in pure code
let username = findByUID content (read (args !! 1))
-- Display the result
case username of
Just x -> putStrLn x
Nothing -> putStrLn "Could not find that UID"
-- Given the entire input and a UID, see if we can find a username.
findByUID :: String -> Integer -> Maybe String
findByUID content uid =
let al = map parseline . lines $ content
in lookup uid al
-- Convert a colon-separated line into fields
parseline :: String -> (Integer, String)
parseline input =
let fields = split ':' input
in (read (fields !! 2), fields !! 0)
-- Takes a delimiter and a list.
-- Break up the list based on the delimiter.
split :: Eq a => a -> [a] -> [[a]]
-- If the input is empty, the result is a list of empty lists.
split _ [] = [[]]
split delimiter str =
let -- Find the part of the list before delimiter and put it in "before".
-- The result of the list, including the leading delimiter, goes in "remainder".
(before, remainder) = span (/= delimiter) str
in before : case remainder of
[] -> []
x -> -- If there is more data to process,
-- call split recursively to process it
split delimiter (tail x)
findByUID 是整个程序的核心，它逐行读入并处理输入，使用 lookup 从处理结果中查找给定 UID ：
*Main> findByUID "root:x:0:0:root:/root:/bin/bash" 0
Just "root"
parseline 读入并处理一个字符串，返回一个包含 UID 和用户名的元组：
*Main> parseline "root:x:0:0:root:/root:/bin/bash"
(0,"root")
split 函数根据给定分隔符 delimiter 将一个文本行分割为列表：
*Main> split ':' "root:x:0:0:root:/root:/bin/bash"
["root","x","0","0","root","/root","/bin/bash"]
以下是在本机执行 passwd-al.hs 处理 /etc/passwd 的结果：
$ runghc passwd-al.hs /etc/passwd 0
root
$ runghc passwd-al.hs /etc/passwd 10086
Could not find that UID
Map 类型
Data.Map 模块提供的 Map 类型的行为和关联列表类似，但 Map 类型的性能更好。
Map 和其他语言提供的哈希表类似。不同的是， Map 的内部由平衡二叉树实现，在 Haskell 这种使用不可变数据的语言中，它是一个比哈希表更高效的表示。这是一个非常明显的例子，说明纯函数式语言是如何深入地影响我们编写程序的方式：对于一个给定的任务，我们总是选择合适的算法和数据结构，使得解决方案尽可能地简单和有效，但这些（纯函数式的）选择通常不同于命令式语言处理同样问题时的选择。
因为 Data.Map 模块的一些函数和 Prelude 模块的函数重名，我们通过 importqualifiedData.MapasMap 的方式引入模块，并使用 Map.name 的方式引用模块中的名字。
先来看看如何用几种不同的方式构建 Map ：
-- file: ch13/buildmap.hs
import qualified Data.Map as Map
-- Functions to generate a Map that represents an association list
-- as a map
al = [(1, "one"), (2, "two"), (3, "three"), (4, "four")]
-- Create a map representation of 'al' by converting the association
-- list using Map.fromList
mapFromAL =
Map.fromList al
-- Create a map representation of 'al' by doing a fold
mapFold =
foldl (\map (k, v) -> Map.insert k v map) Map.empty al
-- Manually create a map with the elements of 'al' in it
mapManual =
Map.insert 2 "two" .
Map.insert 4 "four" .
Map.insert 1 "one" .
Map.insert 3 "three" $ Map.empty
Map.insert 函数处理数据的方式非常『 Haskell 化』：它返回经过函数应用的输入数据的副本。这种处理数据的方式在操作多个 Map 时非常有用，它意味着你可以像前面代码中 mapFold 那样使用 fold 来构建一个 Map ，又或者像 mapManual 那样，串连起多个 Map.insert 调用。
[译注：这里说『 Haskell 化』实际上就是『函数式化』，对于函数式语言来说，最常见的函数处理方式是接受一个输入，然后返回一个输出，输出是另一个独立的值，且原输入不会被修改。]
现在，到 ghci 中验证一下是否所有定义都如我们所预期的那样工作：
Prelude> :l buildmap.hs
[1 of 1] Compiling Main ( buildmap.hs, interpreted )
Ok, modules loaded: Main.
*Main> al
Loading package array-0.4.0.0 ... linking ... done.
Loading package deepseq-1.3.0.0 ... linking ... done.
Loading package containers-0.4.2.1 ... linking ... done.
[(1,"one"),(2,"two"),(3,"three"),(4,"four")]
*Main> mapFromAL
fromList [(1,"one"),(2,"two"),(3,"three"),(4,"four")]
*Main> mapFold
fromList [(1,"one"),(2,"two"),(3,"three"),(4,"four")]
*Main> mapManual
fromList [(1,"one"),(2,"two"),(3,"three"),(4,"four")]
注意， Map 并不保证它的输出排列和原本的输入排列一致，对比 mapManual 的输入和输出可以看出这一点。
Map 的操作方式和关联列表类似。 Data.Map 模块提供了一组函数，用于增删 Map 元素，对 Map 进行过滤、修改和 fold ，以及在 Map 和关联列表之间进行转换。 Data.Map 模块本身的文档非常优秀，因此我们在这里不会详细讲解每个函数，而是在本章的后续内容中，通过例子来介绍这些概念。
函数也是数据
Haskell 语言的威力部分在于它可以让我们方便地创建并操作函数。
以下示例展示了怎样将函数保存到记录的域中：
-- file: ch13/funcrecs.hs
-- Our usual CustomColor type to play with
data CustomColor =
CustomColor {red :: Int,
green :: Int,
blue :: Int}
deriving (Eq, Show, Read)
-- A new type that stores a name and a function.
-- The function takes an Int, applies some computation to it,
-- and returns an Int along with a CustomColor
data FuncRec =
FuncRec {name :: String,
colorCalc :: Int -> (CustomColor, Int)}
plus5func color x = (color, x + 5)
purple = CustomColor 255 0 255
plus5 = FuncRec {name = "plus5", colorCalc = plus5func purple}
always0 = FuncRec {name = "always0", colorCalc = \_ -> (purple, 0)}
注意 colorCalc 域的类型：它是一个函数，接受一个 Int 类型值作为参数，并返回一个 (CustomColor,Int) 元组。
我们创建了两个 FuncRec 记录： plus5 和 always0 ，这两个记录的 colorCalc 域都总是返回紫色（purple）。 FuncRec 自身并没有域去保存所使用的颜色，颜色的值被保存在函数当中 —— 我们称这种用法为闭包。
以下是示例代码：
*Main> :l funcrecs.hs
[1 of 1] Compiling Main ( funcrecs.hs, interpreted )
Ok, modules loaded: Main.
*Main> :t plus5
plus5 :: FuncRec
*Main> name plus5
"plus5"
*Main> :t colorCalc plus5
colorCalc plus5 :: Int -> (CustomColor, Int)
*Main> (colorCalc plus5) 7
(CustomColor {red = 255, green = 0, blue = 255},12)
*Main> :t colorCalc always0
colorCalc always0 :: Int -> (CustomColor, Int)
*Main> (colorCalc always0) 7
(CustomColor {red = 255, green = 0, blue = 255},0)
上面的程序工作得很好，但我们还想做一些更有趣的事，比如说，在多个域中使用同一段数据。可以使用一个类型构造函数来做到这一点：
-- file: ch13/funcrecs2.hs
data FuncRec =
FuncRec {name :: String,
calc :: Int -> Int,
namedCalc :: Int -> (String, Int)}
mkFuncRec :: String -> (Int -> Int) -> FuncRec
mkFuncRec name calcfunc =
FuncRec {name = name,
calc = calcfunc,
namedCalc = \x -> (name, calcfunc x)}
plus5 = mkFuncRec "plus5" (+ 5)
always0 = mkFuncRec "always0" (\_ -> 0)
mkFuncRecs 函数接受一个字符串和一个函数作为参数，返回一个新的 FuncRec 记录。以下是对 mkFuncRecs 函数的测试：
*Main> :l funcrecs2.hs
[1 of 1] Compiling Main ( funcrecs2.hs, interpreted )
Ok, modules loaded: Main.
*Main> :t plus5
plus5 :: FuncRec
*Main> name plus5
"plus5"
*Main> (calc plus5) 5
10
*Main> (namedCalc plus5) 5
("plus5",10)
*Main> let plus5a = plus5 {name = "PLUS5A"}
*Main> name plus5a
"PLUS5A"
*Main> (namedCalc plus5a) 5
("plus5",10)
注意 plus5a 的创建过程：我们改变了 plus5 的 name 域，但没有修改它的 namedCalc 域。这就是为什么调用 name 会返回新名字，而 namedCalc 依然返回原本使用 mkFuncRecs 创建时设置的名字 —— 除非我们显式地修改域，否则它们不会被改变。
扩展示例： /etc/password
以下是一个扩展示例，它展示了几种不同的数据结构的用法，根据 /etc/passwd 文件的格式，程序处理并保存它的实体（entry）：
-- file: ch13/passwdmap.hs
import Data.List
import qualified Data.Map as Map
import System.IO
import Text.Printf(printf)
import System.Environment(getArgs)
import System.Exit
import Control.Monad(when)
{- | The primary piece of data this program will store.
It represents the fields in a POSIX /etc/passwd file -}
data PasswdEntry = PasswdEntry {
userName :: String,
password :: String,
uid :: Integer,
gid :: Integer,
gecos :: String,
homeDir :: String,
shell :: String}
deriving (Eq, Ord)
{- | Define how we get data to a 'PasswdEntry'. -}
instance Show PasswdEntry where
show pe = printf "%s:%s:%d:%d:%s:%s:%s"
(userName pe) (password pe) (uid pe) (gid pe)
(gecos pe) (homeDir pe) (shell pe)
{- | Converting data back out of a 'PasswdEntry'. -}
instance Read PasswdEntry where
readsPrec _ value =
case split ':' value of
[f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7] ->
-- Generate a 'PasswdEntry' the shorthand way:
-- using the positional fields. We use 'read' to convert
-- the numeric fields to Integers.
[(PasswdEntry f1 f2 (read f3) (read f4) f5 f6 f7, [])]
x -> error $ "Invalid number of fields in input: " ++ show x
where
{- | Takes a delimiter and a list. Break up the list based on the
- delimiter. -}
split :: Eq a => a -> [a] -> [[a]]
-- If the input is empty, the result is a list of empty lists.
split _ [] = [[]]
split delim str =
let -- Find the part of the list before delim and put it in
-- "before". The rest of the list, including the leading
-- delim, goes in "remainder".
(before, remainder) = span (/= delim) str
in
before : case remainder of
[] -> []
x -> -- If there is more data to process,
-- call split recursively to process it
split delim (tail x)
-- Convenience aliases; we'll have two maps: one from UID to entries
-- and the other from username to entries
type UIDMap = Map.Map Integer PasswdEntry
type UserMap = Map.Map String PasswdEntry
{- | Converts input data to maps. Returns UID and User maps. -}
inputToMaps :: String -> (UIDMap, UserMap)
inputToMaps inp =
(uidmap, usermap)
where
-- fromList converts a [(key, value)] list into a Map
uidmap = Map.fromList . map (\pe -> (uid pe, pe)) $ entries
usermap = Map.fromList .
map (\pe -> (userName pe, pe)) $ entries
-- Convert the input String to [PasswdEntry]
entries = map read (lines inp)
main = do
-- Load the command-line arguments
args <- getArgs
-- If we don't have the right number of args,
-- give an error and abort
when (length args /= 1) $ do
putStrLn "Syntax: passwdmap filename"
exitFailure
-- Read the file lazily
content <- readFile (head args)
let maps = inputToMaps content
mainMenu maps
mainMenu maps@(uidmap, usermap) = do
putStr optionText
hFlush stdout
sel <- getLine
-- See what they want to do. For every option except 4,
-- return them to the main menu afterwards by calling
-- mainMenu recursively
case sel of
"1" -> lookupUserName >> mainMenu maps
"2" -> lookupUID >> mainMenu maps
"3" -> displayFile >> mainMenu maps
"4" -> return ()
_ -> putStrLn "Invalid selection" >> mainMenu maps
where
lookupUserName = do
putStrLn "Username: "
username <- getLine
case Map.lookup username usermap of
Nothing -> putStrLn "Not found."
Just x -> print x
lookupUID = do
putStrLn "UID: "
uidstring <- getLine
case Map.lookup (read uidstring) uidmap of
Nothing -> putStrLn "Not found."
Just x -> print x
displayFile =
putStr . unlines . map (show . snd) . Map.toList $ uidmap
optionText =
"\npasswdmap options:\n\
\\n\
\1 Look up a user name\n\
\2 Look up a UID\n\
\3 Display entire file\n\
\4 Quit\n\n\
\Your selection: "
示例程序维持两个 Map ：一个从用户名映射到 PasswdEntry ，另一个从 UID 映射到 PasswdEntry 。有数据库使用经验的人可以将它们看作是两个不同数据域的索引。
根据 /etc/passwd 文件的格式， PasswdEntry 的 Show 和 Read 实例分别用于显示（display）和处理（parse）工作。
扩展示例：数字类型（Numeric Types）
我们已经讲过 Haskell 的类型系统有多强大，表达能力有多强。我们已经讲过很多利用这种能力的方法。现在我们来举一个实际的例子看看。
在 数字类型 一节中，我们展示了 Haskell 的数字类型类。现在，我们来定义一些类，然后用数字类型类把它们和 Haskell 的基本数学结合起来，看看能得到什么。
我们先来想想我们想用这些新类型在 ghci 里干什么。首先，一个不错的选择是把数学表达式转成字符串，并确保它显示了正确的优先级。我们可以写一个 prettyShow 函数来实现。稍后我们就告诉你怎么写，先来看看怎么用它。
ghci> :l num.hs
[1 of 1] Compiling Main ( num.hs, interpreted )
Ok, modules loaded: Main.
ghci> 5 + 1 * 3
8
ghci> prettyShow $ 5 + 1 * 3
"5+(1*3)"
ghci> prettyShow $ 5 * 1 + 3
"(5*1)+3"
看起来不错，但还不够聪明。我们可以很容易地把 1* 从表达式里拿掉。写个函数来简化怎么样？
ghci> prettyShow $ simplify $ 5 + 1 * 3
"5+3"
把数学表达式转成逆波兰表达式（RPN）怎么样？RPN 是一种后缀表示法，它不要求括号，常见于 HP 计算器。RPN 是一种基于栈的表达式。我们把数字放进栈里，当碰到操作符时，栈顶的数字出栈，结果再被放回栈里。
ghci> rpnShow $ 5 + 1 * 3
"5 1 3 * +"
ghci> rpnShow $ simplify $ 5 + 1 * 3
"5 3 +"
能表示含有未知符号的简单表达式也很不错。
ghci> prettyShow $ 5 + (Symbol "x") * 3
"5+(x*3)"
跟数字打交道时，单位常常很重要。例如，当你看见数字5时，它是5米，5英尺，还是5字节？当然，当你用5米除以2秒时，系统应该推出来正确的单位。而且，它应该阻止你用2秒加上5米。
ghci> 5 / 2
2.5
ghci> (units 5 "m") / (units 2 "s")
2.5_m/s
ghci> (units 5 "m") + (units 2 "s")
*** Exception: Mis-matched units in add
ghci> (units 5 "m") + (units 2 "m")
7_m
ghci> (units 5 "m") / 2
2.5_m
ghci> 10 * (units 5 "m") / (units 2 "s")
25.0_m/s
如果我们定义的表达式或函数对所有数字都合法，那我们就应该能计算出结果，或者把表达式转成字符串。例如，如果我们定义 test 的类型为 Numa=>a，并令 test=2*5+3，那我们应该可以：
ghci> test
13
ghci> rpnShow test
"2 5 * 3 +"
ghci> prettyShow test
"(2*5)+3"
ghci> test + 5
18
ghci> prettyShow (test + 5)
"((2*5)+3)+5"
ghci> rpnShow (test + 5)
"2 5 * 3 + 5 +"
既然我们能处理单位，那我们也应该能处理一些基本的三角函数，其中很多操作都是关于角的。让我们确保角度和弧度都能被处理。
ghci> sin (pi / 2)
1.0
ghci> sin (units (pi / 2) "rad")
1.0_1.0
ghci> sin (units 90 "deg")
1.0_1.0
ghci> (units 50 "m") * sin (units 90 "deg")
50.0_m
最后，我们应该能把这些都放在一起，把不同类型的表达式混合使用。
ghci> ((units 50 "m") * sin (units 90 "deg")) :: Units (SymbolicManip Double)
50.0*sin(((2.0*pi)*90.0)/360.0)_m
ghci> prettyShow $ dropUnits $ (units 50 "m") * sin (units 90 "deg")
"50.0*sin(((2.0*pi)*90.0)/360.0)"
ghci> rpnShow $ dropUnits $ (units 50 "m") * sin (units 90 "deg")
"50.0 2.0 pi * 90.0 * 360.0 / sin *"
ghci> (units (Symbol "x") "m") * sin (units 90 "deg")
x*sin(((2.0*pi)*90.0)/360.0)_m
你刚才看到的一切都可以用 Haskell 的类型和类型类实现。实际上，你看到的正是我们马上要实现的 num.hs。
第一步
我们想想怎么实现上面提到的功能。首先，用 ghci 查看一下可知，(+) 的类型是 Numa=>a->a->a。如果我们想给加号实现一些自定义行为，我们就必须定义一个新类型并声明它为 Num 的实例。这个类型得用符号的形式来存储表达式。我们可以从加法操作开始。我们需要存储操作符本身、左侧以及右侧内容。左侧和右侧内容本身又可以是表达式。
我们可以把表达式想象成一棵树。让我们从一些简单类型开始。
-- file: ch13/numsimple.hs
-- 我们支持的操作符
data Op = Plus | Minus | Mul | Div | Pow
deriving (Eq, Show)
{- 核心符号操作类型（core symbolic manipulation type） -}
data SymbolicManip a =
Number a -- Simple number, such as 5
| Arith Op (SymbolicManip a) (SymbolicManip a)
deriving (Eq, Show)
{- SymbolicManip 是 Num 的实例。定义 SymbolicManip 实现 Num 的函数。如(+)等。 -}
instance Num a => Num (SymbolicManip a) where
a + b = Arith Plus a b
a - b = Arith Minus a b
a * b = Arith Mul a b
negate a = Arith Mul (Number (-1)) a
abs a = error "abs is unimplemented"
signum _ = error "signum is unimplemented"
fromInteger i = Number (fromInteger i)
首先我们定义了 Op 类型。这个类型表示我们要支持的操作。接着，我们定义了 SymbolicManipa，由于 Numa 约束的存在，a 可替换为任何 Num 实例。我们可以有 SymbolicManipInt 这样的具体类型。
SymbolicManip 类型可以是数字，也可以是数学运算。Arith 构造器是递归的，这在 Haskell 里完全合法。Arith 用一个 Op 和两个 SymbolicManip 创建了一个 SymbolicManip。我们来看一个例子：
Prelude> :l numsimple.hs
[1 of 1] Compiling Main ( numsimple.hs, interpreted )
Ok, modules loaded: Main.
*Main> Number 5
Number 5
*Main> :t Number 5
Number 5 :: Num a => SymbolicManip a
*Main> :t Number (5::Int)
Number (5::Int) :: SymbolicManip Int
*Main> Number 5 * Number 10
Arith Mul (Number 5) (Number 10)
*Main> (5 * 10)::SymbolicManip Int
Arith Mul (Number 5) (Number 10)
*Main> (5 * 10 + 2)::SymbolicManip Int
Arith Plus (Arith Mul (Number 5) (Number 10)) (Number 2)
可以看到，我们已经可以表示一些简单的表达式了。注意观察 Haskell 是如何把 5*10+2 “转换”成 SymbolicManip 值的，它甚至还正确处理了求值顺序。事实上，这并不是真正意义上的转换，因为 SymbolicManip 已经是一等数字（first-class number）了。就算 Integer 类型的数字字面量（numeric literals）在内部也是被包装在 fromInteger 里的，所以 5 作为一个 SymbolicManipInt 和作为一个 Int 同样有效。
从这儿开始，我们的任务就简单了：扩展 SymbolicManip，使它能表示所有我们想要的操作；把它声明为其它数字类型类的实例；为 SymbolicManip 实现我们自己的 Show 实例，使这棵树在显示时更友好。
完整代码
这里是完整的 num.hs，我们在本节开始的 ghci 例子中用到了它。我们来一点一点分析这段代码。
-- file: ch13/num.hs
import Data.List
--------------------------------------------------
-- Symbolic/units manipulation
--------------------------------------------------
-- The "operators" that we're going to support
data Op = Plus | Minus | Mul | Div | Pow
deriving (Eq, Show)
{- The core symbolic manipulation type. It can be a simple number,
a symbol, a binary arithmetic operation (such as +), or a unary
arithmetic operation (such as cos)
Notice the types of BinaryArith and UnaryArith: it's a recursive
type. So, we could represent a (+) over two SymbolicManips. -}
data SymbolicManip a =
Number a -- Simple number, such as 5
| Symbol String -- A symbol, such as x
| BinaryArith Op (SymbolicManip a) (SymbolicManip a)
| UnaryArith String (SymbolicManip a)
deriving (Eq)
我们在这段代码中定义了 Op，和之前我们用到的一样。我们也定义了 SymbolicManip，它和我们之前用到的类似。在这个版本中，我们开始支持一元数学操作（unary arithmetic operations）（也就是接受一个参数的操作），例如 abs 和 cos。接下来我们来定义自己的 Num 实例。
-- file: ch13/num.hs
{- SymbolicManip will be an instance of Num. Define how the Num
operations are handled over a SymbolicManip. This will implement things
like (+) for SymbolicManip. -}
instance Num a => Num (SymbolicManip a) where
a + b = BinaryArith Plus a b
a - b = BinaryArith Minus a b
a * b = BinaryArith Mul a b
negate a = BinaryArith Mul (Number (-1)) a
abs a = UnaryArith "abs" a
signum _ = error "signum is unimplemented"
fromInteger i = Number (fromInteger i)
非常直观，和之前的代码很像。注意之前我们不支持 abs，但现在可以了，因为有了 UnaryArith。接下来，我们再定义几个实例。
-- file: ch13/num.hs
{- 定义 SymbolicManip 为 Fractional 实例 -}
instance (Fractional a) => Fractional (SymbolicManip a) where
a / b = BinaryArith Div a b
recip a = BinaryArith Div (Number 1) a
fromRational r = Number (fromRational r)
{- 定义 SymbolicManip 为 Floating 实例 -}
instance (Floating a) => Floating (SymbolicManip a) where
pi = Symbol "pi"
exp a = UnaryArith "exp" a
log a = UnaryArith "log" a
sqrt a = UnaryArith "sqrt" a
a ** b = BinaryArith Pow a b
sin a = UnaryArith "sin" a
cos a = UnaryArith "cos" a
tan a = UnaryArith "tan" a
asin a = UnaryArith "asin" a
acos a = UnaryArith "acos" a
atan a = UnaryArith "atan" a
sinh a = UnaryArith "sinh" a
cosh a = UnaryArith "cosh" a
tanh a = UnaryArith "tanh" a
asinh a = UnaryArith "asinh" a
acosh a = UnaryArith "acosh" a
atanh a = UnaryArith "atanh" a
这段代码直观地定义了 Fractional 和 Floating 实例。接下来，我们把表达式转换字符串。
-- file: ch13/num.hs
{- 使用常规代数表示法，把 SymbolicManip 转换为字符串 -}
prettyShow :: (Show a, Num a) => SymbolicManip a -> String
-- 显示字符或符号
prettyShow (Number x) = show x
prettyShow (Symbol x) = x
prettyShow (BinaryArith op a b) =
let pa = simpleParen a
pb = simpleParen b
pop = op2str op
in pa ++ pop ++ pb
prettyShow (UnaryArith opstr a) =
opstr ++ "(" ++ show a ++ ")"
op2str :: Op -> String
op2str Plus = "+"
op2str Minus = "-"
op2str Mul = "*"
op2str Div = "/"
op2str Pow = "**"
{- 在需要的地方添加括号。这个函数比较保守，有时候不需要也会加。
Haskell 在构建 SymbolicManip 的时候已经处理好优先级了。-}
simpleParen :: (Show a, Num a) => SymbolicManip a -> String
simpleParen (Number x) = prettyShow (Number x)
simpleParen (Symbol x) = prettyShow (Symbol x)
simpleParen x@(BinaryArith _ _ _) = "(" ++ prettyShow x ++ ")"
simpleParen x@(UnaryArith _ _) = prettyShow x
{- 调用 prettyShow 函数显示 SymbolicManip 值 -}
instance (Show a, Num a) => Show (SymbolicManip a) where
show a = prettyShow a
首先我们定义了 prettyShow 函数。它把一个表达式转换成常规表达形式。算法相当简单：数字和符号不做处理；二元操作是转换后两侧的内容加上中间的操作符；当然我们也处理了一元操作。op2str 把 Op 转为 String。在 simpleParen 里，我们加括号的算法非常保守，以确保优先级在结果里清楚显示。最后，我们声明 SymbolicManip 为 Show 的实例然后用 prettyShow 来实现。现在，我们来设计一个算法把表达式转为 RPN 形式的字符串。
-- file: ch13/num.hs
{- Show a SymbolicManip using RPN. HP calculator users may
find this familiar. -}
rpnShow :: (Show a, Num a) => SymbolicManip a -> String
rpnShow i =
let toList (Number x) = [show x]
toList (Symbol x) = [x]
toList (BinaryArith op a b) = toList a ++ toList b ++
[op2str op]
toList (UnaryArith op a) = toList a ++ [op]
join :: [a] -> [[a]] -> [a]
join delim l = concat (intersperse delim l)
in join " " (toList i)
RPN 爱好者会发现，跟上面的算法相比，这个算法是多么简洁。尤其是，我们根本不用关心要从哪里加括号，因为 RPN 天生只能沿着一个方向求值。接下来，我们写个函数来实现一些基本的表达式化简。
-- file: ch13/num.hs
{- Perform some basic algebraic simplifications on a SymbolicManip. -}
simplify :: (Eq a, Num a) => SymbolicManip a -> SymbolicManip a
simplify (BinaryArith op ia ib) =
let sa = simplify ia
sb = simplify ib
in
case (op, sa, sb) of
(Mul, Number 1, b) -> b
(Mul, a, Number 1) -> a
(Mul, Number 0, b) -> Number 0
(Mul, a, Number 0) -> Number 0
(Div, a, Number 1) -> a
(Plus, a, Number 0) -> a
(Plus, Number 0, b) -> b
(Minus, a, Number 0) -> a
_ -> BinaryArith op sa sb
simplify (UnaryArith op a) = UnaryArith op (simplify a)
simplify x = x
这个函数相当简单。我们很轻易地就能化简某些二元数学运算——例如，用1乘以任何值。我们首先得到操作符两侧操作数被化简之后的版本（在这儿用到了递归）然后再化简结果。对于一元操作符我们能做的不多，所以我们仅仅简化它们作用于的表达式。
从现在开始，我们会增加对计量单位的支持。增加之后我们就能表示“5米”这种数量了。跟之前一样，我们先来定义一个类型：
-- file: ch13/num.hs
{- 新数据类型：Units。Units 类型包含一个数字和一个 SymbolicManip，也就是计量单位。
计量单位符号可以是 (Symbol "m") 这个样子。 -}
data Units a = Units a (SymbolicManip a)
deriving (Eq)
一个 Units 值包含一个数字和一个符号。符号本身是 SymbolicManip 类型。接下来，将 Units 声明为 Num 实例。
-- file: ch13/num.hs
{- 为 Units 实现 Num 实例。我们不知道如何转换任意单位，因此当不同单位的数字相加时，我们报告错误。
对于乘法，我们生成对应的新单位。 -}
instance (Eq a, Num a) => Num (Units a) where
(Units xa ua) + (Units xb ub)
| ua == ub = Units (xa + xb) ua
| otherwise = error "Mis-matched units in add or subtract"
(Units xa ua) - (Units xb ub) = (Units xa ua) + (Units (xb * (-1)) ub)
(Units xa ua) * (Units xb ub) = Units (xa * xb) (ua * ub)
negate (Units xa ua) = Units (negate xa) ua
abs (Units xa ua) = Units (abs xa) ua
signum (Units xa _) = Units (signum xa) (Number 1)
fromInteger i = Units (fromInteger i) (Number 1)
现在，我们应该清楚为什么要用 SymbolicManip 而不是 String 来存储计量单位了。做乘法时，计量单位也会发生改变。例如，5米乘以2米会得到10平方米。我们要求加法运算的单位必须匹配，并用加法实现了减法。我们再来看几个 Units 的类型类实例。
-- file: ch13/num.hs
{- Make Units an instance of Fractional -}
instance (Eq a, Fractional a) => Fractional (Units a) where
(Units xa ua) / (Units xb ub) = Units (xa / xb) (ua / ub)
recip a = 1 / a
fromRational r = Units (fromRational r) (Number 1)
{- Floating implementation for Units.
Use some intelligence for angle calculations: support deg and rad
-}
instance (Eq a, Floating a) => Floating (Units a) where
pi = (Units pi (Number 1))
exp _ = error "exp not yet implemented in Units"
log _ = error "log not yet implemented in Units"
(Units xa ua) ** (Units xb ub)
| ub == Number 1 = Units (xa ** xb) (ua ** Number xb)
| otherwise = error "units for RHS of ** not supported"
sqrt (Units xa ua) = Units (sqrt xa) (sqrt ua)
sin (Units xa ua)
| ua == Symbol "rad" = Units (sin xa) (Number 1)
| ua == Symbol "deg" = Units (sin (deg2rad xa)) (Number 1)
| otherwise = error "Units for sin must be deg or rad"
cos (Units xa ua)
| ua == Symbol "rad" = Units (cos xa) (Number 1)
| ua == Symbol "deg" = Units (cos (deg2rad xa)) (Number 1)
| otherwise = error "Units for cos must be deg or rad"
tan (Units xa ua)
| ua == Symbol "rad" = Units (tan xa) (Number 1)
| ua == Symbol "deg" = Units (tan (deg2rad xa)) (Number 1)
| otherwise = error "Units for tan must be deg or rad"
asin (Units xa ua)
| ua == Number 1 = Units (rad2deg $ asin xa) (Symbol "deg")
| otherwise = error "Units for asin must be empty"
acos (Units xa ua)
| ua == Number 1 = Units (rad2deg $ acos xa) (Symbol "deg")
| otherwise = error "Units for acos must be empty"
atan (Units xa ua)
| ua == Number 1 = Units (rad2deg $ atan xa) (Symbol "deg")
| otherwise = error "Units for atan must be empty"
sinh = error "sinh not yet implemented in Units"
cosh = error "cosh not yet implemented in Units"
tanh = error "tanh not yet implemented in Units"
asinh = error "asinh not yet implemented in Units"
acosh = error "acosh not yet implemented in Units"
atanh = error "atanh not yet implemented in Units"
虽然没有实现所有函数，但大部分都定义了。现在我们来定义几个跟单位打交道的工具函数。
-- file: ch13/num.hs
{- A simple function that takes a number and a String and returns an
appropriate Units type to represent the number and its unit of measure -}
units :: (Num z) => z -> String -> Units z
units a b = Units a (Symbol b)
{- Extract the number only out of a Units type -}
dropUnits :: (Num z) => Units z -> z
dropUnits (Units x _) = x
{- Utilities for the Unit implementation -}
deg2rad x = 2 * pi * x / 360
rad2deg x = 360 * x / (2 * pi)
首先我们定义了 units，使表达式更简洁。units5"m" 肯定要比 Units5(Symbol"m") 省事。我们还定义了 dropUnits，它把单位去掉只返回 Num。最后，我们定义了两个函数，用来在角度和弧度之间转换。接下来，我们给 Units 定义 Show 实例。
-- file: ch13/num.hs
{- Showing units: we show the numeric component, an underscore,
then the prettyShow version of the simplified units -}
instance (Eq a, Show a, Num a) => Show (Units a) where
show (Units xa ua) = show xa ++ "_" ++ prettyShow (simplify ua)
很简单。最后我们定义 test 变量用来测试。
-- file: ch13/num.hs
test :: (Num a) => a
test = 2 * 5 + 3
回头看看这些代码，我们已经完成了既定目标：给 SymbolicManip 实现更多实例；我们引入了新类型 Units，它包含一个数字和一个单位；我们实现了几个 show 函数，以便用不同的方式来转换 SymbolicManip 和 Units。
这个例子还给了我们另外一点启发。所有语言——即使那些包含对象和重载的——都有从某种角度看很独特的地方。在 Haskell 里，这个“特殊”的部分很小。我们刚刚开发了一种新的表示法用来表示像数字一样基本的东西，而且很容易就实现了。我们的新类型是一等类型，编译器在编译时就知道使用它哪个函数。Haskell 把代码复用和互换（interchangeability）发挥到了极致。写通用代码很容易，而且很方便就能把它们用于多种不同类型的东西上。同样容易的是创建新类型并使它们自动成为系统的一等功能（first-class features）。
还记得本节开头的 ghci 例子吗？ 我们已经实现了它的全部功能。你可以自己试试，看看它们是怎么工作的。
练习
- 扩展 prettyShow 函数，去掉不必要的括号。
把函数当成数据来用
在命令式语言当中，拼接两个列表很容易。下面的 C 语言结构维护了指向列表头尾的指针：
struct list {
struct node *head, *tail;
};
当我们想把列表 B 拼接到列表 A 的尾部时，我们将 A 的最后一个节点指向 B 的 head 节点，再把 A 的 tail 指针指向 B 的 tail 节点。
很显然，在 Haskell 里，如果我们想保持“纯”的话，这种方法是有局限性的。由于纯数据是不可变的，我们无法原地修改列表。Haskell 的 (++) 操作符通过生成一个新列表来拼接列表。
-- file: ch13/Append.hs
(++) :: [a] -> [a] -> [a]
(x:xs) ++ ys = x : xs ++ ys
_ ++ ys = ys
从代码里可以看出，创建新列表的开销取决于第一个列表的长度。
我们经常需要通过重复拼接列表来创建一个大列表。例如，在生成网页内容时我们可能想生成一个 String。每当有新内容添加到网页中时，我们会很自然地想到把它拼接到已有 String 的末尾。
如果每一次拼接的开销都正比与初始列表的长度，每一次拼接都把初始列表加的更长，那么我们将会陷入一个很糟糕的情况：所有拼接的总开销将会正比于最终列表长度的平方。
为了更好地理解，我们来研究一下。(++) 操作符是右结合的。
ghci> :info (++)
(++) :: [a] -> [a] -> [a] -- Defined in GHC.Base
infixr 5 ++
这意味着 Haskell 在求值表达式 "a"++"b"++"c" 时会从右向左进行，就像加了括号一样："a"++("b"++"c")。这对于提高性能非常有好处，因为它会让左侧操作数始终保持最短。
当我们重复向列表末尾拼接时，我们破坏了这种结合性。假设我们有一个列表 "a" 然后想把 "b" 拼接上去，我们把结果存储在一个新列表里。稍后如果我们想把 "c" 拼接上去时，这时的左操作数已经变成了 "ab"。在这种情况下，每次拼接都让左操作数变得更长。
与此同时，命令式语言的程序员却在偷笑，因为他们重复拼接的开销只取决于操作的次数。他们的性能是线性的，我们的是平方的。
当像重复拼接列表这种常见任务都暴露出如此严重的性能问题时，我们有必要从另一个角度来看看问题了。
表达式 ("a"++) 是一个 节 (section)，一个部分应用的函数。它的类型是什么呢？
ghci> :type ("a" ++)
("a" ++) :: [Char] -> [Char]
由于这是一个函数，我们可以用 (.) 操作符把它和另一个节组合起来，例如 ("b"++)。
ghci> :type ("a" ++) . ("b" ++)
("a" ++) . ("b" ++) :: [Char] -> [Char]
新函数的类型和之前相同。当我们停止组合函数，并向我们创造的函数提供一个 String 会发生什么呢？
ghci> let f = ("a" ++) . ("b" ++)
ghci> f []
"ab"
我们实现了字符串拼接！我们利用这些部分应用的函数来存储数据，并且只要提供一个空列表就可以把数据提取出来。每一个 (++) 和 (.) 部分应用都代表了一次拼接，但它们并没有真正完成拼接。
这个方法有两点非常有趣。第一点是部分应用的开销是固定的，这样多次部分应用的开销就是线性的。第二点是当我们提供一个 [] 值来从部分应用链中提取最终列表时，求值会从右至左进行。这使得 (++) 的左操作数尽可能小，使得所有拼接的总开销是线性而不是平方。
通过使用这种并不太熟悉的数据表示方式，我们避免了一个性能泥潭，并且对“把函数当成数据来用”有了新的认识。顺便说一下，这个技巧并不新鲜，它通常被称为差异列表（difference list）。
还有一点没讲。尽管从理论上看差异列表非常吸引人，但如果在实际中把 (++)、(.) 和部分应用都暴露在外的话，它并不会非常好用。我们需要把它转成一种更好用的形式。
把差异列表转成库
第一步是用 newtype 声明把底层的类型隐藏起来。我们会创建一个 DList 类型。类似于普通列表，它是一个参数化类型。
-- file: ch13/DList.hs
newtype DList a = DL {
unDL :: [a] -> [a]
}
unDL 是我们的析构函数，它把 DL 构造器删除掉。我们最后导出模块函数时会忽略掉构造函数和析构函数，这样我们的用户就没必要知道 DList 类型的实现细节。他们只用我们导出的函数即可。
-- file: ch13/DList.hs
append :: DList a -> DList a -> DList a
append xs ys = DL (unDL xs . unDL ys)
我们的 append 函数看起来可能有点复杂，但其实它仅仅是围绕着 (.) 操作符做了一些簿记工作，(.) 的用法和我们之前展示的完全一样。生成函数的时候，我们必须首先用 unDL 函数把它们从 DL 构造器中取出来。然后我们在把得到的结果重新用 DL 包装起来，确保它的类型正确。
下面是相同函数的另一种写法，这种方法通过模式识别取出 xs 和 ys。
-- file: ch13/DList.hs
append' :: DList a -> DList a -> DList a
append' (DL xs) (DL ys) = DL (xs . ys)
我们需要在 DList 类型和普通列表之间来回转换。
-- file: ch13/DList.hs
fromList :: [a] -> DList a
fromList xs = DL (xs ++)
toList :: DList a -> [a]
toList (DL xs) = xs []
再次声明，跟这些函数最原始的版本相比，我们在这里做的只是一些簿记工作。
如果我们想把 DList 作为普通列表的替代品，我们还需要提供一些常用的列表操作。
-- file: ch13/DList.hs
empty :: DList a
empty = DL id
-- equivalent of the list type's (:) operator
cons :: a -> DList a -> DList a
cons x (DL xs) = DL ((x:) . xs)
infixr `cons`
dfoldr :: (a -> b -> b) -> b -> DList a -> b
dfoldr f z xs = foldr f z (toList xs)
尽管 DList 使得拼接很廉价，但并不是所有的列表操作都容易实现。列表的 head 函数具有常数开销，而对应的 DL