第十八章 非确定性求值
介绍
非确定性是一种通过仅定义问题来解决问题的算法。非确定性程序自动选择符合条件的选项。这项技术很适合逻辑编程。
例如,以下代码返回一对数,其和是一个质数。其中一个数从'(4 6 7)选取,另一个从'(5 8 11)选取。
(let ((i (amb 4 6 7))
(j (amb 5 8 11)))
(if (prime? (+ i j))
(list i j)
(amb)))
;Value 23: (6 5)
(amb 4 6 7) 从4,6和7中返回一个合适的数,(amb 5 8 11)从5,8和11中返回一个合适的数。如果没有选出合适的值,(amb)返回假。
实际上,amb做了深度优先搜索。(amb c1 c2 c3 ...)创建了搜索路径依次检查c1,c2,c3,…并回溯。因此,非确定性是一种帮程序隐藏搜索的抽象。一旦我们有了amb,我们可以很容易地编写程序而无需思考计算机做了什么。
非确定性的实现
使用在非确定性中的回溯被实现为连接到继续(continuation)的闭包链。这个链被一个全局参数fail表示,该参数是一个复写自己的函数。
函数实现
第一步,我使用函数(名为choose)实现非确定性,演示于[代码1]。我首先定义一个全局参数fail,它的初始值是一个将返回no-choice到顶层的函数(22-26行)。然后通过在函数choose中重新定义fail实现闭包链。回溯通过调用之前的fail实现。
函数choose有如下行为:
- 如果没有选项,调用(fail)。
- 如果有任何选项,将fail储存为fail0,并调用当前继续(continuation)。在继续(continuation)中重新定义fail。fail重新被赋值回存在fail0里的原值,并对余下的选项应用(apply)choose。返回第一个选项到继续(continuation)外面。
[代码1]
;;; abbreviation for call-with-current-continuation
(define call/cc call-with-current-continuation)
;;; This function is re-assigned in `choose` and `fail` itself.
(define fail #f)
;;; function for nondeterminism
(define (choose . ls)
(if (null? ls)
(fail)
(let ((fail0 fail))
(call/cc
(lambda (cc)
(set! fail (lambda ()
(set! fail fail0)
(cc (apply choose (cdr ls)))))
(cc (car ls)))))))
;;; write following at the end of file
;;; initial value for fail
(call/cc
(lambda (cc)
(set! fail (lambda ()
(cc 'no-choice)))))
让我们看看choose是否可以找到毕达哥拉斯三元组。函数pythag用于寻找三元组。如果找到了,它返回一个表。如果没有找到,调用无参数的choose,以回溯。
[例1]
(define (sq x)
(* x x))
;Value: sq
;;; Pythagorean triples
(define (pythag a b c)
(if (= (+ (sq a) (sq b)) (sq c))
(list a b c)
(choose)))
;Value: pythag
(pythag (choose 1 2 3) (choose 3 4 5) (choose 4 5 6))
;Value 16: (3 4 5)
宏实现
为了对S-表达式使用非确定性操作,必须把操作定义为宏。例如,[例2]中所示函数an-integer-starting-from应该返回一个大于或等于n的整数,但是如果choose被以函数形式定义,它将不能正常工作,因为参数会立即求值。
[例2]
(define (an-integer-starting-from n)
(choose n (an-integer-starting-from (1+ n))))
;Value: an-integer-starting-from
(an-integer-starting-from 1)
;Aborting!: maximum recursion depth exceeded
为了解决这一点,我们定义了一个和[代码1]中定义一致但使用非确定性宏amb实现的choose。这个宏amb有和choose一样的递归调用自己的结构。
[代码1]中的1-5行和20-26行在下面的代码中得以重用。
[代码2]使用MIT-Scheme编译时,编译器给出如下警告:
;Warning: Possible inapplicable operator ()
但是代码可以正常工作。这些代码在Petite Chez Scheme下也可以运行。即使我没有试过其他Scheme实现,我认为amb的定义可以工作,只要它们遵守R5RS。MIT-Scheme编译器不会对这个专门实现提出警告。
[代码2]
;;; nondeterminism macro operator
(define-syntax amb
(syntax-rules ()
((_) (fail))
((_ a) a)
((_ a b ...)
(let ((fail0 fail))
(call/cc
(lambda (cc)
(set! fail
(lambda ()
(set! fail fail0)
(cc (amb b ...))))
(cc a)))))))
宏定义,amb,在参数为S-表达式时也和其他值一样正常工作。
[例3]
(define (an-integer-starting-from n)
(amb n (an-integer-starting-from (1+ n))))
;Value: an-integer-starting-from
(an-integer-starting-from 1)
;Value: 1
(amb)
;Value: 2
(amb)
;Value: 3
在Teach Yourself Scheme in Fixnum Days 和Dave Hername Code中的amb实现使用',@(map ...)'展开参数。即使它们是直截了当的定义,但由于使用了两次call/cc,它们某种程度上仍很复杂。[代码2]所示的递归定义更简单,即使展开的S-表达式会很复杂。
应用于逻辑编程,使程序更简洁
[代码3]演示了非确定性应用逻辑编程,使得程序更简洁
[代码3]
01: ;;; returning all possibilities
02: (define-syntax set-of
03: (syntax-rules ()
04: ((_ s)
05: (let ((acc '()))
06: (amb (let ((v s))
07: (set! acc (cons v acc))
08: (fail))
09: (reverse! acc))))))
10:
11: ;;; if not pred backtrack
12: (define (assert pred)
13: (or pred (amb)))
14:
15: ;;; returns arbitrary number larger or equal to n
16: (define (an-integer-starting-from n)
17: (amb n (an-integer-starting-from (1+ n))))
18:
19: ;;; returns arbitrary number between a and b
20: (define (number-between a b)
21: (let loop ((i a))
22: (if (> i b)
23: (amb)
24: (amb i (loop (1+ i))))))
(set-of s)
返回满足s的所有可能性。宏的行为如下:
- (第5行)一个表(acc)被定义,它有所欲哦满足s的结果。
- (第6行)s的结果被赋给v,并加入到acc。如果结果没有带上v而直接被加入(如 (set! acc (cons s acc))),则会因为s使用了继续(continuation)而只在acc中存储了最后一个值。s改了了fail的值。
- (第7,8行)在这之后,调用fail回溯。因为使用了继续(continuation),函数fail行为就像在第6行被调用。
- (第9行)当所有可能的选项被找到时,调用(reverse! acc)并返回所有的可能选项。
定义假设amb从最左边参数开始搜索。
(assert pred)
如果谓词为假,就回溯。
(an-integer-starting-from n)
非确定性地返回从n开始的整数。
(number-between a b)
非确定性地返回a和b之间的整数
[例4]演示了如何使用set-of。得到了所有小于20的质数。
[例4]
(define (prime? n)
(let ((m (sqrt n)))
(let loop ((i 2))
(or (< m i)
(and (not (zero? (modulo n i)))
(loop (+ i (if (= i 2) 1 2))))))))
(define (gen-prime n)
(let ((i (number-between 2 n)))
(assert (prime? i))
i))
(set-of (gen-prime 20))
;Value 12: (2 3 5 7 11 13 17 19)
逻辑编程的例子
让我们来解决SICP中的习题4.42作为例子。问题如下:
五位女同学参加一场考试。她们的家长对考试结果过分关心。为此她们约定,在给家里写信谈到考试时,每个姑娘都要写一句真话和一句假话。下面是从她们的信中摘出的句子:
贝蒂:“凯迪考第二,我只考了第三。”艾赛尔:“你们应该高兴地听到我考了第一,琼第二。”琼:“我考第三,可怜的艾赛尔考得最差。”凯蒂:“我第二,玛丽只考了第四。”玛丽:“我是第四,贝蒂的成绩最高。”
这五位姑娘的实际排名是什么?
[代码4]给出了这个问题的解法。
[代码4]
01: (define (xor a b)
02: (if a (not b) b))
03:
04: (define (all-different? . ls)
05: (let loop ((obj (car ls)) (ls (cdr ls)))
06: (or (null? ls)
07: (and (not (memv obj ls))
08: (loop (car ls) (cdr ls))))))
09:
10: ;;; SICP Exercise 4.42
11: (define (girls-exam)
12: (let ((kitty (number-between 1 5))
13: (betty (number-between 1 5)))
14: (assert (xor (= kitty 2) (= betty 3)))
15: (let ((mary (number-between 1 5)))
16: (assert (xor (= kitty 2) (= mary 4)))
17: (assert (xor (= mary 4) (= betty 1)))
18: (let ((ethel (number-between 1 5))
19: (joan (number-between 1 5)))
20: (assert (xor (= ethel 1) (= joan 2)))
21: (assert (xor (= joan 3) (= ethel 5)))
22: (assert (all-different? kitty betty ethel joan mary))
23: (map list '(kitty betty ethel joan mary) (list kitty betty ethel joan mary))))))
24:
25: ;;; Bad answer for ex 4.42
26: (define (girls-exam-x)
27: (let ((kitty (number-between 1 5))
28: (betty (number-between 1 5))
29: (mary (number-between 1 5))
30: (ethel (number-between 1 5))
31: (joan (number-between 1 5)))
32: (assert (xor (= kitty 2) (= betty 3)))
33: (assert (xor (= kitty 2) (= mary 4)))
34: (assert (xor (= mary 4) (= betty 1)))
35: (assert (xor (= ethel 1) (= joan 2)))
36: (assert (xor (= joan 3) (= ethel 5)))
37: (assert (all-different? kitty betty ethel joan mary))
38: (map list '(kitty betty ethel joan mary) (list kitty betty ethel joan mary))))
(xor a b)以下条件满足,返回#t:
- a是#t,b是#f,或者
- a是#f,b是#t。
(all-different? , ls)
当ls的所有元素都不相同时,返回#t。
(girls-exam)
是解决谜题的主要函数。它返回名字和排名的表。每次参数赋值后都调用了assert是为了有效地减少死分支的运行时间。(girls-exam-x)则是一个坏例子。它在为所有参数赋值之后调用assert。这种情况下,无谓地搜索了大量的死分支。[例5]显示(girl-exam-x)的运行时间是(girl-exam)的10倍。
[例5]
(define-syntax cpu-time/sec
(syntax-rules ()
((_ s)
(with-timings
(lambda () s)
(lambda (run-time gc-time real-time)
(write (internal-time/ticks->seconds run-time))
(write-char #\space)
(write (internal-time/ticks->seconds gc-time))
(write-char #\space)
(write (internal-time/ticks->seconds real-time))
(newline))))))
;Value: cpu-time/sec
(cpu-time/sec (girls-exam))
.03 0. .03
;Value 14: ((kitty 1) (betty 3) (ethel 5) (joan 2) (mary 4))
(cpu-time/sec (girls-exam-x))
.341 .29 .631
;Value 15: ((kitty 1) (betty 3) (ethel 5) (joan 2) (mary 4))
小结
当你使用了非确定性和用于逻辑编程分析技术时,你就可以写出看起来具有先见之明的程序。注意如果搜索路径里有循环我们就不能使用本章的代码。