heapq

堆（heap），是一种数据结构。用维基百科中的说明：

堆（英语：heap)，是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。

对于这个新的概念，读者不要感觉心慌意乱或者恐惧，因为它本质上不是新东西，而是在我们已经熟知的知识基础上的扩展。

堆的实现是通过构造二叉堆，也就是一种二叉树。

基本知识

这是一颗在苏州很常见的香樟树，马路两边、公园里随处可见。

但是，在编程中，我们常说的树通常不是上图那样的，而是这样的：

跟真实现实生活中看到的树反过来，也就是“根”在上面。为什么这样呢？我想主要是画着更方便吧。但是，我觉这棵树，是完全写实的作品。我本人做为一名隐姓埋名多年的抽象派画家，不喜欢这样的树，我画出来的是这样的：

这棵树有两根枝杈，可不要小看这两根枝杈哦，《道德经》上不是说“一生二，二生三，三生万物”。一就是下面那个干，二就是两个枝杈，每个枝杈还可以看做下一个一，然后再有两个枝杈，如此不断重复（这简直就是递归呀），就成为了一棵大树。

我的确很佩服我自己的后现代抽象派的作品。但是，我更喜欢把这棵树画成这样：

并且给它一个正规的名字：二叉树

这个也是二叉树，完全脱胎于我所画的后现代抽象主义作品。但是略有不同，这幅图在各个枝杈上显示的是数字。这种类型的“树”就编程语言中所说的二叉树，维基百科曰：

在计算机科学中，二叉樹（英语：Binary tree）是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作「左子樹」（left subtree）和「右子樹」（right subtree）。二叉樹常被用於實現二叉查找樹和二叉堆。

在上图的二叉树中，最顶端的那个数字就相当于树根，也就称作“根”。每个数字所在位置成为一个节点，每个节点向下分散出两个“子节点”。就上图的二叉树，在最后一层，并不是所有节点都有两个子节点，这类二叉树又称为完全二叉树（Complete Binary Tree），也有的二叉树，所有的节点都有两个子节点，这类二叉树称作满二叉树（Full Binarry Tree)，如下图：

下面讨论的对象是实现二叉堆就是通过二叉树实现的。其应该具有如下特点：

• 节点的值大于等于（或者小于等于）任何子节点的值。
• 节点左子树和右子树是一个二叉堆。如果父节点的值总大于等于任何一个子节点的值，其为最大堆；若父节点值总小于等于子节点值，为最小堆。上面图示中的完全二叉树，就表示一个最小堆。

堆的类型还有别的，如斐波那契堆等，但很少用。所以，通常就将二叉堆也说成堆。下面所说的堆，就是二叉堆。而二叉堆又是用二叉树实现的。

堆的存储

堆用列表（有的语言中成为数组）来表示。如下图所示：

从图示中可以看出，将逻辑结构中的树的节点数字依次填入到存储结构中。看这个图，似乎是列表中按照顺序进行排列似的。但是，这仅仅由于那个树的特点造成的，如果是下面的树：

如果将上面的逻辑结构转换为存储结构，读者就能看出来了，不再是按照顺序排列的了。

关于堆的各种，如插入、删除、排序等，本节不会专门讲授编码方法，读者可以参与有关资料。但是，下面要介绍如何用python中的模块heapq来实现这些操作。

heapq模块

heapq中的heap是堆，q就是queue（队列）的缩写。此模块包括：

>>> import heapq
>>> heapq.__all__
['heappush', 'heappop', 'heapify', 'heapreplace', 'merge', 'nlargest', 'nsmallest', 'heappushpop']

依次查看这些函数的使用方法。

heappush(heap, x)：将x压入对heap（这是一个列表）

Help on built-in function heappush in module _heapq:

heappush(...)
    heappush(heap, item) -> None. Push item onto heap, maintaining the heap invariant.

>>> import heapq
>>> heap = []    
>>> heapq.heappush(heap, 3)
>>> heapq.heappush(heap, 9)
>>> heapq.heappush(heap, 2)
>>> heapq.heappush(heap, 4)
>>> heapq.heappush(heap, 0)
>>> heapq.heappush(heap, 8)
>>> heap
[0, 2, 3, 9, 4, 8]

请读者注意我上面的操作，在向堆增加数值的时候，我并没有严格按照什么顺序，是随意的。但是，当我查看堆的数据时，显示给我的是一个有一定顺序的数据结构。这种顺序不是按照从小到大，而是按照前面所说的完全二叉树的方式排列。显示的是存储结构，可以把它还原为逻辑结构，看看是不是一颗二叉树。

由此可知，利用heappush()函数将数据放到堆里面之后，会自动按照二叉树的结构进行存储。

heappop(heap)：删除最小元素

承接上面的操作：

>>> heapq.heappop(heap)
0
>>> heap
[2, 4, 3, 9, 8]

用heappop()函数，从heap堆中删除了一个最小元素，并且返回该值。但是，这时候的heap显示顺序，并非简单地将0去除，而是按照完全二叉树的规范重新进行排列。

heapify()：将列表转换为堆

如果已经建立了一个列表，利用heapify()可以将列表直接转化为堆。

>>> hl = [2, 4, 6, 8, 9, 0, 1, 5, 3]
>>> heapq.heapify(hl)
>>> hl
[0, 3, 1, 4, 9, 6, 2, 5, 8]

经过这样的操作，列表hl就变成了堆（注意观察堆的顺序，和列表不同），可以对hl（堆）使用heappop()或者heappush()等函数了。否则，不可。

>>> heapq.heappop(hl)
0
>>> heapq.heappop(hl)
1
>>> hl
[2, 3, 5, 4, 9, 6, 8]
>>> heapq.heappush(hl, 9)
>>> hl
[2, 3, 5, 4, 9, 6, 8, 9]

不要认为堆里面只能放数字，之所以用数字，是因为对它的逻辑结构比较好理解。

>>> heapq.heappush(hl, "q")
>>> hl
[2, 3, 5, 4, 9, 6, 8, 9, 'q']
>>> heapq.heappush(hl, "w")
>>> hl
[2, 3, 5, 4, 9, 6, 8, 9, 'q', 'w']

heapreplace()

是heappop()和heappush()的联合，也就是删除一个，同时加入一个。例如：

>>> heap
[2, 4, 3, 9, 8]
>>> heapq.heapreplace(heap, 3.14)
2
>>> heap
[3, 4, 3.14, 9, 8]

先简单罗列关于对的几个常用函数。那么堆在编程实践中的用途在哪方面呢？主要在排序上。一提到排序，读者肯定想到的是sorted()或者列表中的sort()，不错，这两个都是常用的函数，而且在一般情况下已经足够使用了。如果再使用堆排序，相对上述方法应该有优势。

堆排序的优势不仅更快，更重要的是有效地使用内存，当然，另外一个也不同忽视，就是简单易用。比如前面操作的，删除数列中最小的值，就是在排序基础上进行的操作。

deque模块

有这样一个问题：一个列表，比如是[1,2,3]，我打算在最右边增加一个数字。

这也太简单了，不就是用append()这个内建函数，追加一个吗？

这是简单，我要得寸进尺，能不能在最左边增加一个数字呢？

这个嘛，应该有办法。不过得想想了。读者在向下阅读的时候，能不能想出一个方法来？

>>> lst = [1, 2, 3]
>>> lst.append(4)
>>> lst
[1, 2, 3, 4]
>>> nl = [7]
>>> nl.extend(lst)
>>> nl
[7, 1, 2, 3, 4]

你或许还有别的方法。但是，python为我们提供了一个更简单的模块，来解决这个问题。

>>> from collections import deque

这次用这种引用方法，因为collections模块中东西很多，我们只用到deque。

>>> lst
[1, 2, 3, 4]

还是这个列表。试试分别从右边和左边增加数

>>> qlst = deque(lst)

这是必须的，将列表转化为deque。deque在汉语中有一个名字，叫做“双端队列”（double-ended queue）。

>>> qlst.append(5)        #从右边增加
>>> qlst
deque([1, 2, 3, 4, 5])
>>> qlst.appendleft(7)    #从左边增加
>>> qlst
deque([7, 1, 2, 3, 4, 5])

这样操作多么容易呀。继续看删除：

>>> qlst.pop()
5
>>> qlst
deque([7, 1, 2, 3, 4])
>>> qlst.popleft()
7
>>> qlst
deque([1, 2, 3, 4])

删除也分左右。下面这个，请读者仔细观察，更有点意思。

>>> qlst.rotate(3)
>>> qlst
deque([2, 3, 4, 1])

rotate()的功能是将[1, 2, 3, 4]的首位连起来，你就想象一个圆环，在上面有1,2,3,4几个数字。如果一开始正对着你的是1，依顺时针方向排列，就是从1开始的数列，如下图所示：

经过rotate()，这个环就发生旋转了，如果是rotate(3)，表示每个数字按照顺时针方向前进三个位置，于是变成了：

请原谅我的后现代注意超级抽象派作图方式。从图中可以看出，数列变成了[2, 3, 4, 1]。rotate()作用就好像在拨转这个圆环。

>>> qlst
deque([3, 4, 1, 2])
>>> qlst.rotate(-1)
>>> qlst
deque([4, 1, 2, 3])

如果参数是复数，那么就逆时针转。

在deque中，还有extend和extendleft方法。读者可自己调试。