（4）堆排序 (Heap Sort)
算法原理
先上一张堆排序动画演示图片：
图片来自维基百科
1. 不得不说说二叉树
要了解堆首先得了解一下二叉树，在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。
二叉树的每个结点至多只有二棵子树（不存在度大于 2 的结点），二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
在二叉树的第i层至多有
个结点
深度为K的二叉树的最大节点数为(k>=1)
对于任何终端结点 
，度为2的节点数为 
，则 
= 
+ 1
树和二叉树的三个主要差别：
- 树的结点个数至少为 1，而二叉树的结点个数可以为 0
- 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为 2
- 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分
二叉树又分为完全二叉树（complete binary tree）和满二叉树（full binary tree）
满二叉树：一棵深度为 k，且有 2k - 1 个节点称之为满二叉树
深度为 3 的满二叉树 full binary tree
完全二叉树：深度为 k，有 n 个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为 k 的满二叉树中序号为 1 至 n 的节点对应时，称之为完全二叉树
深度为 3 的完全二叉树 complete binary tree
2. 什么是堆？
堆（二叉堆）可以视为一棵完全的二叉树，完全二叉树的一个“优秀”的性质是，除了最底层之外，每一层都是满的，这使得堆可以利用数组来表示（普通的一般的二叉树通常用链表作为基本容器表示），每一个结点对应数组中的一个元素。
如下图，是一个堆和数组的相互关系
堆和数组的相互关系
对于给定的某个结点的下标 i，可以很容易的计算出这个结点的父结点、孩子结点的下标：
- Parent(i) = floor(i/2)，i 的父节点下标
- Left(i) = 2i，i 的左子节点下标
- Right(i) = 2i + 1，i 的右子节点下标
二叉堆一般分为两种：最大堆和最小堆。
最大堆：
- 最大堆中的最大元素值出现在根结点（堆顶）
- 堆中每个父节点的元素值都大于等于其孩子结点（如果存在）
最大堆
最小堆：
- 最小堆中的最小元素值出现在根结点（堆顶）
- 堆中每个父节点的元素值都小于等于其孩子结点（如果存在）
最小堆
3. 堆排序原理
堆排序就是把最大堆堆顶的最大数取出，将剩余的堆继续调整为最大堆，再次将堆顶的最大数取出，这个过程持续到剩余数只有一个时结束。在堆中定义以下几种操作：
- 最大堆调整（Max-Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
- 创建最大堆（Build-Max-Heap）：将堆所有数据重新排序，使其成为最大堆
- 堆排序（Heap-Sort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算
继续进行下面的讨论前，需要注意的一个问题是：数组都是 Zero-Based，这就意味着我们的堆数据结构模型要发生改变
Zero-Based
相应的，几个计算公式也要作出相应调整：
- Parent(i) = floor((i-1)/2)，i 的父节点下标
- Left(i) = 2i + 1，i 的左子节点下标
- Right(i) = 2(i + 1)，i 的右子节点下标
最大堆调整（MAX‐HEAPIFY）的作用是保持最大堆的性质，是创建最大堆的核心子程序，作用过程如图所示：
Max-Heapify
由于一次调整后，堆仍然违反堆性质，所以需要递归的测试，使得整个堆都满足堆性质，用 JavaScript 可以表示如下：
/**
* 从 index 开始检查并保持最大堆性质
*
* @array
*
* @index 检查的起始下标
*
* @heapSize 堆大小
*
**/
function maxHeapify(array, index, heapSize) {
var iMax = index,
iLeft = 2 * index + 1,
iRight = 2 * (index + 1);
if (iLeft
iMax = iLeft;
}
if (iRight
iMax = iRight;
}
if (iMax != index) {
swap(array, iMax, index);
maxHeapify(array, iMax, heapSize); // 递归调整
}
}
function swap(array, i, j) {
var temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
}通常来说，递归主要用在分治法中，而这里并不需要分治。而且递归调用需要压栈/清栈，和迭代相比，性能上有略微的劣势。当然，按照20/80法则，这是可以忽略的。但是如果你觉得用递归会让自己心里过不去的话，也可以用迭代，比如下面这样：
/**
* 从 index 开始检查并保持最大堆性质
*
* @array
*
* @index 检查的起始下标
*
* @heapSize 堆大小
*
**/
function maxHeapify(array, index, heapSize) {
var iMax, iLeft, iRight;
while (true) {
iMax = index;
iLeft = 2 * index + 1;
iRight = 2 * (index + 1);
if (iLeft
iMax = iLeft;
}
if (iRight
iMax = iRight;
}
if (iMax != index) {
swap(array, iMax, index);
index = iMax;
} else {
break;
}
}
}
function swap(array, i, j) {
var temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
}创建最大堆（Build-Max-Heap）的作用是将一个数组改造成一个最大堆，接受数组和堆大小两个参数，Build-Max-Heap 将自下而上的调用 Max-Heapify 来改造数组，建立最大堆。因为 Max-Heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质，所以自下而上的调用 Max-Heapify 能够在改造过程中保持这一性质。如果最大堆的数量元素是 n，那么 Build-Max-Heap 从 Parent(n) 开始，往上依次调用 Max-Heapify。流程如下：
Build-Max-Heap
用 JavaScript 描述如下：
function buildMaxHeap(array, heapSize) {
var i,
iParent = Math.floor((heapSize - 1) / 2);
for (i = iParent; i >= 0; i--) {
maxHeapify(array, i, heapSize);
}
}堆排序（Heap-Sort）是堆排序的接口算法，Heap-Sort先调用Build-Max-Heap将数组改造为最大堆，然后将堆顶和堆底元素交换，之后将底部上升，最后重新调用Max-Heapify保持最大堆性质。由于堆顶元素必然是堆中最大的元素，所以一次操作之后，堆中存在的最大元素被分离出堆，重复n-1次之后，数组排列完毕。整个流程如下：
Heap-Sort
用 JavaScript 描述如下：
function heapSort(array, heapSize) {
buildMaxHeap(array, heapSize);
for (int i = heapSize - 1; i > 0; i--) {
swap(array, 0, i);
maxHeapify(array, 0, i);
}
}JavaScript 语言实现
最后，把上面的整理为完整的 javascript 代码如下：
function heapSort(array) {
function swap(array, i, j) {
var temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
}
function maxHeapify(array, index, heapSize) {
var iMax,
iLeft,
iRight;
while (true) {
iMax = index;
iLeft = 2 * index + 1;
iRight = 2 * (index + 1);
if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) {
iMax = iLeft;
}
if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) {
iMax = iRight;
}
if (iMax != index) {
swap(array, iMax, index);
index = iMax;
} else {
break;
}
}
}
function buildMaxHeap(array) {
var i,
iParent = Math.floor(array.length / 2) - 1;
for (i = iParent; i >= 0; i--) {
maxHeapify(array, i, array.length);
}
}
function sort(array) {
buildMaxHeap(array);
for (var i = array.length - 1; i > 0; i--) {
swap(array, 0, i);
maxHeapify(array, 0, i);
}
return array;
}
return sort(array);
}