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密码学 欧几里得算法

Euclidean欧几里德算法又称辗转相除法,是指用于计算两个非负整数a,b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

简介

欧几里德算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。古希腊数学家欧几里德在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里德算法。 扩展欧几里德算法可用于RSA加密等领域。 假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里德算法,是这样进行的: 1997 / 615 = 3 (余 152) 615 / 152 = 4(余7) 152 / 7 = 21(余5) 7 / 5 = 1 (余2) 5 / 2 = 2 (余1) 2 / 1 = 2 (余0) 至此,最大公约数为1 以除数和余数反复做除法运算,当余数为 0 时,取当前算式除数为最大公约数,所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

算法

代码实现



/*
欧几里德算法:辗转求余
原理: gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
当b为0时,两数的最大公约数即为a
getchar()会接受前一个scanf的回车符
*/
#include<stdio.h>
unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N)
{
    unsigned int Rem;
    while(N > 0)
    {
        Rem = M % N;
        M = N;
        N = Rem;
    }
    return M;
}
int main(void)
{
    int a,b;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    printf("the greatest common factor of %d and %d is ",a,b);
    printf("%d\n",Gcd(a,b));
    return 0;
}

算法拓展

基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

证明:设 a>b。

  1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

  2,ab!=0 时

  设 ax1+by1=gcd(a,b);

  bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

  根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

  则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

  即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)b)y2=ay2+bx2-(a/b)by2;

  根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2; 这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

  上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。 扩展欧几里德算法不但能计算(a,b)的最大公约数,而且能计算a模b及b模a的乘法逆元,用C语言描述如下:

#include <stdio.h>
unsigned int gcdExtended( int a,  int b,  int *x,  int *y);
int main(void) {

 
    int  a, b,GCD;
    int   x, y;

 
    a = 1232, b = 573;

 
    /*
    gcdExtended(1232, 573)时, x = 20 and y = –43
    1232x + 573y = 1
    24640-24639 = 1
    或者gcdExtended( 573,1232) 时,x=-43, y=20
    573x+1232y = 1
    -43*573+1232*20 = -24639+57640 = 1

 
    gcdExtended(9151, 5787) 时
    x=2011, y=-3180

 
     */
    GCD =  gcdExtended(a, b,&x, &y);
    printf("gcdExtended(%d, %d) = %d, x=%d, y=%d\n", a, b, GCD,x,y);

 
    return 0;
}

 
// 欧几里得扩展算法的C语言实现
// ax+by=1
unsigned int gcdExtended(int a, int b, int *x, int *y){

 
    if (a == 0){
        *x = 0;
        *y = 1;
        return b;
    }
    int x1, y1;
    int gcd = gcdExtended(b%a, a, &x1, &y1);

 
    *x = y1 - (b/a) * x1;
    *y = x1;

 
    return gcd;
}
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第六章 公钥密码学和离散对数

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