C++图基础操作
图基础操作
图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下,实现方式有所不同。
9.2.1 基于邻接矩阵的实现
给定一个顶点数量为 n 的无向图,则各种操作的实现方式如图 9-7 所示。
- 添加或删除边:直接在邻接矩阵中修改指定的边即可,使用 O(1) 时间。而由于是无向图,因此需要同时更新两个方向的边。
- 添加顶点:在邻接矩阵的尾部添加一行一列,并全部填 0 即可,使用 O(n) 时间。
- 删除顶点:在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况,需要将 (n−1)2 个元素“向左上移动”,从而使用 O(n²) 时间。
- 初始化:传入 n 个顶点,初始化长度为 n 的顶点列表 vertices ,使用 O(n) 时间;初始化 n×n 大小的邻接矩阵 adjMat ,使用 O(n²) 时间。
图 9-7 邻接矩阵的初始化、增删边、增删顶点
以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。
graph_adjacency_matrix.cpp
/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
vector<int> vertices; // 顶点列表,元素代表“顶点值”,索引代表“顶点索引”
vector<vector<int>> adjMat; // 邻接矩阵,行列索引对应“顶点索引”
public:
/* 构造方法 */
GraphAdjMat(const vector<int> &vertices, const vector<vector<int>> &edges) {
// 添加顶点
for (int val : vertices) {
addVertex(val);
}
// 添加边
// 请注意,edges 元素代表顶点索引,即对应 vertices 元素索引
for (const vector<int> &edge : edges) {
addEdge(edge[0], edge[1]);
}
}
/* 获取顶点数量 */
int size() const {
return vertices.size();
}
/* 添加顶点 */
void addVertex(int val) {
int n = size();
// 向顶点列表中添加新顶点的值
vertices.push_back(val);
// 在邻接矩阵中添加一行
adjMat.emplace_back(vector<int>(n, 0));
// 在邻接矩阵中添加一列
for (vector<int> &row : adjMat) {
row.push_back(0);
}
}
/* 删除顶点 */
void removeVertex(int index) {
if (index >= size()) {
throw out_of_range("顶点不存在");
}
// 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
vertices.erase(vertices.begin() + index);
// 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
adjMat.erase(adjMat.begin() + index);
// 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
for (vector<int> &row : adjMat) {
row.erase(row.begin() + index);
}
}
/* 添加边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
void addEdge(int i, int j) {
// 索引越界与相等处理
if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) {
throw out_of_range("顶点不存在");
}
// 在无向图中,邻接矩阵沿主对角线对称,即满足 (i, j) == (j, i)
adjMat[i][j] = 1;
adjMat[j][i] = 1;
}
/* 删除边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
void removeEdge(int i, int j) {
// 索引越界与相等处理
if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) {
throw out_of_range("顶点不存在");
}
adjMat[i][j] = 0;
adjMat[j][i] = 0;
}
/* 打印邻接矩阵 */
void print() {
cout << "顶点列表 = ";
printVector(vertices);
cout << "邻接矩阵 =" << endl;
printVectorMatrix(adjMat);
}
};
基于邻接表的实现
设无向图的顶点总数为 n、边总数为 m ,则可根据图 9-8 所示的方法实现各种操作。
- 添加边:在顶点对应链表的末尾添加边即可,使用 O(1) 时间。因为是无向图,所以需要同时添加两个方向的边。
- 删除边:在顶点对应链表中查找并删除指定边,使用 O(m) 时间。在无向图中,需要同时删除两个方向的边。
- 添加顶点:在邻接表中添加一个链表,并将新增顶点作为链表头节点,使用 O(1) 时间。
- 删除顶点:需遍历整个邻接表,删除包含指定顶点的所有边,使用 O(n+m) 时间。
- 初始化:在邻接表中创建 n 个顶点和 2m 条边,使用 O(n+m) 时间。
图 9-8 邻接表的初始化、增删边、增删顶点
以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到,我们在邻接表中使用 Vertex 节点类来表示顶点,而这样做是有原因的。
- 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点,那么值重复的顶点将无法被区分。
- 如果类似邻接矩阵那样,使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么,假设我们想要删除索引为 i 的顶点,则需要遍历整个邻接表,将其中 >i 的索引全部减 1 ,这样操作效率较低。
- 因此我们考虑引入顶点类 Vertex ,使得每个顶点都是唯一的对象,此时删除顶点时就无须改动其余顶点了。
graph_adjacency_list.cpp
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
public:
// 邻接表,key: 顶点,value:该顶点的所有邻接顶点
unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList;
/* 在 vector 中删除指定节点 */
void remove(vector<Vertex *> &vec, Vertex *vet) {
for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {
if (vec[i] == vet) {
vec.erase(vec.begin() + i);
break;
}
}
}
/* 构造方法 */
GraphAdjList(const vector<vector<Vertex *>> &edges) {
// 添加所有顶点和边
for (const vector<Vertex *> &edge : edges) {
addVertex(edge[0]);
addVertex(edge[1]);
addEdge(edge[0], edge[1]);
}
}
/* 获取顶点数量 */
int size() {
return adjList.size();
}
/* 添加边 */
void addEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) {
if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 == vet2)
throw invalid_argument("不存在顶点");
// 添加边 vet1 - vet2
adjList[vet1].push_back(vet2);
adjList[vet2].push_back(vet1);
}
/* 删除边 */
void removeEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) {
if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 == vet2)
throw invalid_argument("不存在顶点");
// 删除边 vet1 - vet2
remove(adjList[vet1], vet2);
remove(adjList[vet2], vet1);
}
/* 添加顶点 */
void addVertex(Vertex *vet) {
if (adjList.count(vet))
return;
// 在邻接表中添加一个新链表
adjList[vet] = vector<Vertex *>();
}
/* 删除顶点 */
void removeVertex(Vertex *vet) {
if (!adjList.count(vet))
throw invalid_argument("不存在顶点");
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
adjList.erase(vet);
// 遍历其他顶点的链表,删除所有包含 vet 的边
for (auto &adj : adjList) {
remove(adj.second, vet);
}
}
/* 打印邻接表 */
void print() {
cout << "邻接表 =" << endl;
for (auto &adj : adjList) {
const auto &key = adj.first;
const auto &vec = adj.second;
cout << key->val << ": ";
printVector(vetsToVals(vec));
}
}
};
效率对比
设图中共有 n 个顶点和 m 条边,表 9-2 对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。
表 9-2 邻接矩阵与邻接表对比
观察表 9-2 ,似乎邻接表(哈希表)的时间与空间效率最优。但实际上,在邻接矩阵中操作边的效率更高,只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看,邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则,而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。