上两节介绍了动态规划问题的主要特征，接下来我们一起探究两个更加实用的问题。

1. 如何判断一个问题是不是动态规划问题？
2. 求解动态规划问题该从何处入手，完整步骤是什么？

14.3.1   问题判断

总的来说，如果一个问题包含重叠子问题、最优子结构，并满足无后效性，那么它通常就适合用动态规划求解。然而，我们很难从问题描述上直接提取出这些特性。因此我们通常会放宽条件，先观察问题是否适合使用回溯（穷举）解决。

适合用回溯解决的问题通常满足“决策树模型”，这种问题可以使用树形结构来描述，其中每一个节点代表一个决策，每一条路径代表一个决策序列。

换句话说，如果问题包含明确的决策概念，并且解是通过一系列决策产生的，那么它就满足决策树模型，通常可以使用回溯来解决。

在此基础上，动态规划问题还有一些判断的“加分项”。

• 问题包含最大（小）或最多（少）等最优化描述。
• 问题的状态能够使用一个列表、多维矩阵或树来表示，并且一个状态与其周围的状态存在递推关系。

相应地，也存在一些“减分项”。

• 问题的目标是找出所有可能的解决方案，而不是找出最优解。
• 问题描述中有明显的排列组合的特征，需要返回具体的多个方案。

如果一个问题满足决策树模型，并具有较为明显的“加分项“，我们就可以假设它是一个动态规划问题，并在求解过程中验证它。

14.3.2   问题求解步骤

动态规划的解题流程会因问题的性质和难度而有所不同，但通常遵循以下步骤：描述决策，定义状态，建立 $dp$ 表，推导状态转移方程，确定边界条件等。

为了更形象地展示解题步骤，我们使用一个经典问题“最小路径和”来举例。

图 14-10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 $13$ 。

图 14-10   最小路径和示例数据

第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 $dp$ 表

本题的每一轮的决策就是从当前格子向下或向右一步。设当前格子的行列索引为 $[i,j]$ ，则向下或向右走一步后，索引变为 $[i+1,j]$ 或 $[i,j+1]$ 。因此，状态应包含行索引和列索引两个变量，记为 $[i,j]$ 。

状态 $[i,j]$ 对应的子问题为：从起始点 $[0,0]$ 走到 $[i,j]$ 的最小路径和，解记为 $dp[i,j]$ 。

至此，我们就得到了图 14-11 所示的二维 $dp$ 矩阵，其尺寸与输入网格 $grid$ 相同。

图 14-11   状态定义与 dp 表

第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程

对于状态 $[i,j]$ ，它只能从上边格子 $[i-1,j]$ 和左边格子 $[i,j-1]$ 转移而来。因此最优子结构为：到达 $[i,j]$ 的最小路径和由 $[i,j-1]$ 的最小路径和与 $[i-1,j]$ 的最小路径和，这两者较小的那一个决定。

根据以上分析，可推出图 14-12 所示的状态转移方程：

图 14-12   最优子结构与状态转移方程

第三步：确定边界条件和状态转移顺序

在本题中，首行的状态只能从其左边的状态得来，首列的状态只能从其上边的状态得来，因此首行 $i=0$ 和首列 $j=0$ 是边界条件。

如图 14-13 所示，由于每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用采用循环来遍历矩阵，外循环遍历各行、内循环遍历各列。

图 14-13   边界条件与状态转移顺序

根据以上分析，我们已经可以直接写出动态规划代码。然而子问题分解是一种从顶至底的思想，因此按照“暴力搜索 $\to$ 记忆化搜索 $\to$ 动态规划”的顺序实现更加符合思维习惯。

1.   方法一：暴力搜索

从状态 $[i,j]$ 开始搜索，不断分解为更小的状态 $[i-1,j]$ 和 $[i,j-1]$ ，递归函数包括以下要素。

• 递归参数：状态 $[i,j]$ 。
• 返回值：从 $[0,0]$ 到 $[i,j]$ 的最小路径和 $dp[i,j]$ 。
• 终止条件：当 $i=0$ 且 $j=0$ 时，返回代价 $grid[0,0]$ 。
• 剪枝：当 $i<0$ 时或 $j<0$ 时索引越界，此时返回代价 $+\mathrm{\infty }$ ，代表不可行。

min_path_sum.cpp

/* 最小路径和：暴力搜索 */
int minPathSumDFS(vector<vector<int>> &grid, int i, int j) {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i == 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 || j < 0) {
        return INT_MAX;
    }
    // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
    int left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
    int up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
    // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    return min(left, up) != INT_MAX ? min(left, up) + grid[i][j] : INT_MAX;
}

图 14-14 给出了以 $dp[2,1]$ 为根节点的递归树，其中包含一些重叠子问题，其数量会随着网格 grid 的尺寸变大而急剧增多。

本质上看，造成重叠子问题的原因为：存在多条路径可以从左上角到达某一单元格。

图 14-14   暴力搜索递归树

每个状态都有向下和向右两种选择，从左上角走到右下角总共需要 $m+n-2$ 步，所以最差时间复杂度为 $O(2^{m+n})$ 。请注意，这种计算方式未考虑临近网格边界的情况，当到达网络边界时只剩下一种选择。因此实际的路径数量会少一些。

2.   方法二：记忆化搜索

我们引入一个和网格 grid 相同尺寸的记忆列表 mem ，用于记录各个子问题的解，并将重叠子问题进行剪枝。

min_path_sum.cpp

/* 最小路径和：记忆化搜索 */
int minPathSumDFSMem(vector<vector<int>> &grid, vector<vector<int>> &mem, int i, int j) {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i == 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 || j < 0) {
        return INT_MAX;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][j] != -1) {
        return mem[i][j];
    }
    // 左边和上边单元格的最小路径代价
    int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
    int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
    // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    mem[i][j] = min(left, up) != INT_MAX ? min(left, up) + grid[i][j] : INT_MAX;
    return mem[i][j];
}

如图 14-15 所示，在引入记忆化后，所有子问题的解只需计算一次，因此时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 $O(nm)$ 。

图 14-15   记忆化搜索递归树

3.   方法三：动态规划

基于迭代实现动态规划解法。

min_path_sum.cpp

/* 最小路径和：动态规划 */
int minPathSumDP(vector<vector<int>> &grid) {
    int n = grid.size(), m = grid[0].size();
    // 初始化 dp 表
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(m));
    dp[0][0] = grid[0][0];
    // 状态转移：首行
    for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：首列
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
    }
    // 状态转移：其余行列
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[n - 1][m - 1];
}

图 14-16 展示了最小路径和的状态转移过程，其遍历了整个网格，因此时间复杂度为 $O(nm)$ 。

数组 dp 大小为 $n\times m$ ，因此空间复杂度为 $O(nm)$ 。

图 14-16   最小路径和的动态规划过程

4.   空间优化

由于每个格子只与其左边和上边的格子有关，因此我们可以只用一个单行数组来实现 $dp$ 表。

请注意，因为数组 dp 只能表示一行的状态，所以我们无法提前初始化首列状态，而是在遍历每行中更新它。

min_path_sum.cpp

/* 最小路径和：空间优化后的动态规划 */
int minPathSumDPComp(vector<vector<int>> &grid) {
    int n = grid.size(), m = grid[0].size();
    // 初始化 dp 表
    vector<int> dp(m);
    // 状态转移：首行
    dp[0] = grid[0][0];
    for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：其余行
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 状态转移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
        // 状态转移：其余列
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[m - 1];
}