C++二分查找插入点
图 10-4 二分查找插入点示例数据二分查找不仅可用于搜索目标元素,还具有许多变种问题,比如搜索目标元素的插入位置。
10.2.1 无重复元素的情况
Question
给定一个长度为 n 的有序数组 nums
和一个元素 target
,数组不存在重复元素。现将 target
插入到数组 nums
中,并保持其有序性。若数组中已存在元素 target
,则插入到其左方。请返回插入后 target
在数组中的索引。
图 10-4 二分查找插入点示例数据
如果想要复用上节的二分查找代码,则需要回答以下两个问题。
问题一:当数组中包含 target 时,插入点的索引是否是该元素的索引?
题目要求将 target 插入到相等元素的左边,这意味着新插入的 target 替换原来 target 的位置。也就是说,当数组包含 target 时,插入点的索引就是该 target 的索引。
问题二:当数组中不存在 target 时,插入点是哪个元素的索引?
进一步思考二分查找过程:当 nums[m] < target 时 i 移动,这意味着指针 i 在向大于等于 target 的元素靠近。同理,指针 j 始终在向小于等于 target 的元素靠近。
因此二分结束时一定有:i 指向首个大于 target 的元素,j 指向首个小于 target 的元素。易得当数组不包含 target 时,插入索引为 i 。
binary_search_insertion.cpp
/* 二分查找插入点(无重复元素) */
int binarySearchInsertionSimple(vector<int> &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
} else {
return m; // 找到 target ,返回插入点 m
}
}
// 未找到 target ,返回插入点 i
return i;
}
存在重复元素的情况
Question
在上一题的基础上,规定数组可能包含重复元素,其余不变。
假设数组中存在多个 target ,则普通二分查找只能返回其中一个 target 的索引,而无法确定该元素的左边和右边还有多少 target。
题目要求将目标元素插入到最左边,所以我们需要查找数组中最左一个 target 的索引。初步考虑通过图 10-5 所示的步骤实现。
- 执行二分查找,得到任意一个 target 的索引,记为 k 。
- 从索引 k 开始,向左进行线性遍历,当找到最左边的 target 时返回。
图 10-5 线性查找重复元素的插入点
此方法虽然可用,但其包含线性查找,因此时间复杂度为 O(n) 。当数组中存在很多重复的 target 时,该方法效率很低。
现考虑拓展二分查找代码。如图 10-6 所示,整体流程保持不变,每轮先计算中点索引 m ,再判断 target 和 nums[m] 大小关系,分为以下几种情况。
- 当 nums[m] < target 或 nums[m] > target 时,说明还没有找到 target ,因此采用普通二分查找的缩小区间操作,从而使指针 i 和 j 向 target 靠近。
- 当 nums[m] == target 时,说明小于 target 的元素在区间 [i,m−1] 中,因此采用 j=m−1 来缩小区间,从而使指针 j 向小于 target 的元素靠近。
循环完成后,i 指向最左边的 target ,j 指向首个小于 target 的元素,因此索引 i 就是插入点。
图 10-6 二分查找重复元素的插入点的步骤
观察以下代码,判断分支 nums[m] > target 和 nums[m] == target 的操作相同,因此两者可以合并。
即便如此,我们仍然可以将判断条件保持展开,因为其逻辑更加清晰、可读性更好。
binary_search_insertion.cpp
/* 二分查找插入点(存在重复元素) */
int binarySearchInsertion(vector<int> &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
}
// 返回插入点 i
return i;
}
Tip
本节的代码都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。
总的来看,二分查找无非就是给指针 i 和 j分别设定搜索目标,目标可能是一个具体的元素(例如 target ),也可能是一个元素范围(例如小于 target 的元素)。
在不断的循环二分中,指针 i 和 j 都逐渐逼近预先设定的目标。最终,它们或是成功找到答案,或是越过边界后停止。