图 7-7 平衡二叉树图 7-6 完满二叉树图 7-5 完全二叉树「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构,代表着祖先与后代之间的派生关系,体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似,二叉树的基本单元是节点,每个节点包含:值、左子节点引用、右子节点引用。
/* 二叉树节点结构体 */
struct TreeNode {
int val; // 节点值
TreeNode *left; // 左子节点指针
TreeNode *right; // 右子节点指针
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
每个节点都有两个引用(指针),分别指向「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」,该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时,我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」,同理可得「右子树 right subtree」。
在二叉树中,除叶节点外,其他所有节点都包含子节点和非空子树。如图 7-1 所示,如果将“节点 2”视为父节点,则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”,左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”,右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
图 7-1 父节点、子节点、子树
二叉树常见术语
二叉树的常用术语如图 7-2 所示。
- 「根节点 root node」:位于二叉树顶层的节点,没有父节点。
- 「叶节点 leaf node」:没有子节点的节点,其两个指针均指向 None 。
- 「边 edge」:连接两个节点的线段,即节点引用(指针)。
- 节点所在的「层 level」:从顶至底递增,根节点所在层为 1 。
- 节点的「度 degree」:节点的子节点的数量。在二叉树中,度的取值范围是 0、1、2 。
- 二叉树的「高度 height」:从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
- 节点的「深度 depth」:从根节点到该节点所经过的边的数量。
- 节点的「高度 height」:从最远叶节点到该节点所经过的边的数量。
图 7-2 二叉树的常用术语
Tip
请注意,我们通常将“高度”和“深度”定义为“走过边的数量”,但有些题目或教材可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下,高度和深度都需要加 1 。
二叉树基本操作
1. 初始化二叉树
与链表类似,首先初始化节点,然后构建引用(指针)。
binary_tree.cpp
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向(即指针)
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
2. 插入与删除节点
与链表类似,在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。图 7-3 给出了一个示例。
图 7-3 在二叉树中插入与删除节点
binary_tree.cpp
/* 插入与删除节点 */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1->left = P;
P->left = n2;
// 删除节点 P
n1->left = n2;
Note
需要注意的是,插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构,而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此,在二叉树中,插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的,以实现有实际意义的操作。
常见二叉树类型
1. 完美二叉树
「完美二叉树 perfect binary tree」除了最底层外,其余所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中,叶节点的度为 0 ,其余所有节点的度都为 2 ;若树高度为 ℎ ,则节点总数为 2ℎ+1−1 ,呈现标准的指数级关系,反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
图 7-4 完美二叉树
2. 完全二叉树
如图 7-5 所示,「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满,且最底层节点尽量靠左填充。
图 7-5 完全二叉树
3. 完满二叉树
如图 7-6 所示,「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外,其余所有节点都有两个子节点。
图 7-6 完满二叉树
4. 平衡二叉树
如图 7-7 所示,「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
图 7-7 平衡二叉树
二叉树的退化
当二叉树的每层节点都被填满时,达到“完美二叉树”;而当所有节点都偏向一侧时,二叉树退化为“链表”。
- 完美二叉树是理想情况,可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
- 链表则是另一个极端,各项操作都变为线性操作,时间复杂度退化至 O(n) 。
图 7-8 二叉树的最佳与最差结构
如表 7-1 所示,在最佳和最差结构下,二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。
表 7-1 二叉树的最佳与最差情况
完美二叉树 | 链表 | |
---|---|---|
第 i 层的节点数量 | ||
高度 | ||
高度 | ||
节点总数 |