「计数排序 counting sort」通过统计元素数量来实现排序，通常应用于整数数组。

简单实现

先来看一个简单的例子。给定一个长度为 $n$ 的数组 nums ，其中的元素都是“非负整数”，计数排序的整体流程如图 11-16 所示。

1. 遍历数组，找出数组中的最大数字，记为 $m$ ，然后创建一个长度为 $m+1$ 的辅助数组 counter 。
2. 借助 counter 统计 nums 中各数字的出现次数，其中 counter[num] 对应数字 num 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 nums（设当前数字为 num），每轮将 counter[num] 增加 $1$ 即可。
3. 由于 counter 的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经被排序好了。接下来，我们遍历 counter ，根据各数字的出现次数，将它们按从小到大的顺序填入 nums 即可。

图 11-16   计数排序流程

counting_sort.cpp

/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(vector<int> &nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    vector<int> counter(m + 1, 0);
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}

完整实现

细心的同学可能发现，如果输入数据是对象，上述步骤 ​3.​ 就失效了。假设输入数据是商品对象，我们想要按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。

那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 counter 的“前缀和”。顾名思义，索引 i 处的前缀和 prefix[i] 等于数组前 i 个元素之和：

前缀和具有明确的意义，prefix[num] - 1 代表元素 num 在结果数组 res 中最后一次出现的索引。这个信息非常关键，因为它告诉我们各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 nums 的每个元素 num ，在每轮迭代中执行以下两步。

1. 将 num 填入数组 res 的索引 prefix[num] - 1 处。
2. 令前缀和 prefix[num] 减小 $1$ ，从而得到下次放置 num 的索引。

遍历完成后，数组 res 中就是排序好的结果，最后使用 res 覆盖原数组 nums 即可。图 11-17 展示了完整的计数排序流程。

图 11-17   计数排序步骤

计数排序的实现代码如下所示。

counting_sort.cpp

/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
void countingSort(vector<int> &nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    vector<int> counter(m + 1, 0);
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    int n = nums.size();
    vector<int> res(n);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
        counter[num]--;              // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    nums = res;
}

算法特性

• 时间复杂度 $O(n+m)$ ：涉及遍历 nums 和遍历 counter ，都使用线性时间。一般情况下 $n\gg m$ ，时间复杂度趋于 $O(n)$ 。
• 空间复杂度 $O(n+m)$、非原地排序：借助了长度分别为 $n$ 和 $m$ 的数组 res 和 counter 。
• 稳定排序：由于向 res 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 nums 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现稳定排序。实际上，正序遍历 nums 也可以得到正确的排序结果，但结果是非稳定的。

局限性

看到这里，你也许会觉得计数排序非常巧妙，仅通过统计数量就可以实现高效的排序工作。然而，使用计数排序的前置条件相对较为严格。

计数排序只适用于非负整数。若想要将其用于其他类型的数据，需要确保这些数据可以被转换为非负整数，并且在转换过程中不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去即可。

计数排序适用于数据量大但数据范围较小的情况。比如，在上述示例中 $m$ 不能太大，否则会占用过多空间。而当 $n\ll m$ 时，计数排序使用 $O(m)$ 时间，可能比 $O(n\log n)$ 的排序算法还要慢。