统计 - 区间估计

间隔估计是使用样本数据来计算未知总体参数的可能（或可能）值的区间，与作为单个数字的点估计相反。

式

$ {\\ mu = \\ bar x \\ pm Z _ {\\ frac {\\ alpha} {2}} \\ frac {\\ sigma} {\\ sqrt n}} $

其中 -

问题陈述:

假设测量某种液体的沸腾温度的学生在6个不同的液体样品上观察到读数（以摄氏度计）102.5,101.7,103.1,100.9,100.5和102.2。他计算样本均值为101.82。如果他知道这个程序的标准偏差是1.2度，那么在95％置信水平下，人口平均值的区间估计是多少？

解决方案:

学生计算沸腾温度的样本平均值为101.82，标准偏差为$ {\\ sigma = 0.49} $。 95％置信区间的临界值为1.96，其中$ {\\ frac {1-0.95} {2} = 0.025} $。未知均值的95％置信区间。

${ = ((101.82 - (1.96 \times 0.49)), (101.82 + (1.96 \times 0.49))) \\[7pt] \ = (101.82 - 0.96, 101.82 + 0.96) \\[7pt] \ = (100.86, 102.78) }$

随着置信水平降低，相应间隔的大小将减小。假设学生对沸腾温度的90％置信区间感兴趣。在这种情况下，$ {\\ sigma = 0.90} $和$ {\\ frac {1-0.90} {2} = 0.05} $。此级别的临界值等于1.645，因此90％置信区间为

${ = ((101.82 - (1.645 \times 0.49)), (101.82 + (1.645 \times 0.49))) \\[7pt] \ = (101.82 - 0.81, 101.82 + 0.81) \\[7pt] \ = (101.01, 102.63)}$

样本量的增加将降低置信区间的长度，而不降低置信水平。这是因为标准偏差随着n增加而减小。

间隔估计的误差界限$ {m} $被定义为从确定间隔长度的样本平均值增加或减去的值:

$ {Z _ {\\ frac {\\ alpha} {2}} \\ frac {\\ sigma} {\\ sqrt n}} $

假设在上面的例子中，学生希望有95％置信度的误差界限等于0.5。将适当的值替换为$ {m} $的表达式并求解n给出计算。

${ n = {(1.96 \times \frac{1.2}{0.5})}^2 \\[7pt] \ = {\frac{2.35}{0.5}^2} \\[7pt] \ = {(4.7)}^2 \ = 22.09 }$

为了实现对总长度小于1度的平均沸点的95％间隔估计，学生将必须进行23次测量。