统计数据 - 峰度
通过峰度测量平坦度或峰值度。 它告诉我们分布相对于正态曲线平坦或峰值的程度。 图解地示出了三种不同类型的曲线的形状。
正常曲线称为Mesokurtic曲线。 如果分布曲线比正常曲线或中间曲线曲线更尖锐，则其被称为勒曲曲线。 如果曲线的峰值比正常曲线小，则称为平片曲线。 峰度由力矩测量并由下式给出:
式
$ {\\ beta_2 = \\ frac {\\ mu_4} {\\ mu_2}} $
其中 -
$ {\\ mu_4 = \\ frac {\\ sum（x- \\ bar x）^ 4} {N}} $
\\ beta_2的值越大，曲线的峰值或曲率越大。 正常曲线的值为3，leptokurtic的\\ beta_2大于3，platykurtic的\\ beta_2小于3。
例子
问题陈述:
提供了一个工厂45名工人的日工资数据。 Compute \\ beta_1和\\ beta_2使用关于平均值的矩。 评论结果。
| 工资（卢比） | 工人人数 |
|---|---|
| 100-200 | 1 |
| 120-200 | 2 |
| 140-200 | 6 |
| 160-200 | 20 |
| 180-200 | 11 |
| 200-200 | 3 |
| 220-200 | 2 |
解决方案:
|
工资 （Rs。） |
工人数量 （f） |
中午 m |
m - $ {\\ frac {170} {20}} $ d |
$ {fd} $ | $ {fd ^ 2} $ | $ {fd ^ 3} $ | $ {fd ^ 4} $ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 100-200 | 1 | 110 | -3 | -3 | 9 | -27 | 81 |
| 120-200 | 2 | 130 | -2 | -4 | 8 | -16 | 32 |
| 140-200 | 6 | 150 | -1 | -6 | 6 | -6 | 6 |
| 160-200 | 20 | 170 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 180-200 | 11 | 190 | 1 | 11 | 11 | 11 | 11 |
| 200-200 | 3 | 210 | 2 | 6 | 12 | 24 | 48 |
| 220-200 | 2 | 230 | 3 | 6 | 18 | 54 | 162 |
| ${N=45}$ | $ {\\ sum fd = 10} $ | $ {\\ sum fd ^ 2 = 64} $ | $ {\\ sum fd ^ 3 = 40} $ | $ {\\ sum fd ^ 4 = 330} $ |
由于偏差是从假定的平均值得到的，因此我们首先计算任意原点的时刻，然后计算平均值的时刻。 关于任意起源的时刻\'170\'
${\mu_1^1= \frac{\sum fd}{N} \times i = \frac{10}{45} \times 20 = 4.44 \\[7pt]
\mu_2^1= \frac{\sum fd^2}{N} \times i^2 = \frac{64}{45} \times 20^2 =568.88 \\[7pt]
\mu_3^1= \frac{\sum fd^2}{N} \times i^3 = \frac{40}{45} \times 20^3 =7111.11 \\[7pt]
\mu_4^1= \frac{\sum fd^4}{N} \times i^4 = \frac{330}{45} \times 20^4 =1173333.33 }$
关于平均值的时刻
${\mu_2 = \mu'_2 - (\mu'_1 )^2 = 568.88-(4.44)^2 = 549.16 \\[7pt]
\mu_3 = \mu'_3 - 3(\mu'_1)(\mu'_2) + 2(\mu'_1)^3 \\[7pt]
\, = 7111.11 - (4.44) (568.88)+ 2(4.44)^3 \\[7pt]
\, = 7111.11 - 7577.48+175.05 = - 291.32 \\[7pt]
\\[7pt]
\mu_4= \mu'_4 - 4(\mu'_1)(\mu'_3) + 6 (\mu_1 )^2 (\mu'_2) -3(\mu'_1)^4 \\[7pt]
\, = 1173333.33 - 4 (4.44)(7111.11)+6(4.44)^2 (568.88) - 3(4.44)^4 \\[7pt]
\, = 1173333.33 - 126293.31+67288.03-1165.87 \\[7pt]
\, = 1113162.18 }$
从平均值的移动值，我们现在可以计算$ {\\ beta_1} $和$ {\\ beta_2} $:
${\beta_1 = \mu^2_3 = \frac{(-291.32)^2}{(549.16)^3} = 0.00051 \\[7pt]
\beta_2 = \frac{\mu_4}{(\mu_2)^2} = \frac{1113162.18}{(546.16)^2} = 3.69 }$
从上面的计算可以得出结论，测量偏度的$ {\\ beta_1} $几乎为零，从而表明分布几乎是对称的。 $ {\\ beta_2} $测量峰度，具有大于3的值，因此意味着分布是leptokurtic。